Notion naïve d'ensemble

Introduction

Pour introduire proprement la logique, il faut, comme on vient de le voir, s'intéresser de près à la notion de langage. Nous allons devoir utiliser la notion (intuitive) d'ensemble pour cela. La notion mathématique précise d'ensemble sera définie dans le prochain chapitre qui sera consacré à ce sujet. Mais en attendant, nous n'avons pas besoin d'une notion formelle d'ensemble pour exposer les principes de la logique. Le vouloir absolument mènerait de toute façon à une impasse, car nous avons besoin de la logique pour construire la théorie des ensembles, et nous serions alors dans un cercle vicieux. Nous allons donc dans la suite utiliser la notion d'ensemble de façon restreinte, et d'une certaine façon «déconnectée» de la notion rigoureuse de théorie des ensembles que nous développerons après. On peut alors ignorer tout les paradoxes qui surgissent lorsque l'on parle d'ensemble de façon naïve, car nous utiliserons la notion d'ensemble que pour définir certains concepts précis, dit autrement nous n'avons pas besoin d'une théorie des ensembles formelle et «complète», c'est aussi simple que ça. Dans cette section, on ne s'occupe que de définir certaines notations que nous utiliserons lorsque l'on utilisera la notion d'ensemble.

Concepts et notations

Un ensemble est une collection non ordonnée d'«objet» que l'on appelle des éléments de cet ensemble. Lorsqu'un ensemble $E$, a comme éléments $a_1,a_2,...,a_n$, on note:

Dire que $x$ soit un élément d'un ensemble $E$ s'écrit:

Dans le cas contraire, on peut écrire: