Relation d'ordre

Si nous avons deux nombres $a,b\in \mathbb{N}$, alors on peut dire que l'un est «plus petit» que l'autre, et on note si $a$ est plus petit que $b$, $a<b$. On peut facilement définir cette notion de manière formelle avec ce qui a été vu précédemment, on a tout simplement:

Et si $a<b$, on peut écrire aussi $b>a$.

En plus de la notion de «plus petit que» on définit «plus petit ou égal à» et si $a$ est plus petit ou égal à $b$, on note: $a⩽b$ ou $a\le b$. On le définit comme ceci:

On va dire que nous définissons ainsi une relation d'ordre sur $\mathbb{N}$ car on introduit l'idée d'«ordre» entre les éléments.

Il reste à définir ce qu'est vraiment une relation d'ordre de manière générale, car on rencontrera ce type de relation dans d'autres ensembles que dans $\mathbb{N}$. On va voir qu'en fait «$⩽$» est une relation d'ordre et que «$<$» est une relation d'ordre strict.

Définition

Sans surprise, on va définir la relation d'ordre comme une relation binaire.

On peut facilement se rendre compte que «$⩽$» est une relation d'ordre.

On définit aussi la notion de relation d'ordre strict: une relation d'ordre strict est une relation binaire irréflexive et transitive. On dit qu'une relation est irréflexive si aucun élément n'est en relation avec lui-même:

On peut facilement se rendre compte que «$<$» est une relation d'ordre strict.

Ordre totale et partiel