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La multiplication

On utilise le même type de définition que pour l'addition.

Définition

Pour tout a on a une fonction ga de vers définie par:

{ga(0)=0n,ga(n+1)=ga(n)+a

Et on note: ga(n)=an ou encore an ou plus rarement a×n. Les deux propriétés qui définissent la multiplication peuvent donc s'écrire:

a0=0 n,a(n+1)=an+a
Théorème 4.

Distributivité par rapport à l'addition:

a,b,c,a(b+c)=ab+ac

Démonstration par récurrence sur c. On a pour c=0:

a(b+0)=ab=ab+a0

On démontre donc que a[b+(c+1)]=ab+a(c+1) sous l'hypothèse que a(b+c)=ab+ac:

a[b+(c+1)]=a[(b+c)+1]=a(b+c)+a=(ab+ac)+a=ab+(ac+a)=ab+a(c+1)
Théorème 5.

Associativité

a,b,c,,(ab)c=a(bc)

Démonstration par récurrence sur c. Pour c=0:

(ab)0=0=a(b0)

Et donc sous l'hypothèse que (ab)c=a(bc):

(ab)(c+1)=(ab)c+ab=a(bc)+ab=a(bc+b)=a[b(c+1)]
Théorème 6.

Élément neutre:

a,a1=a=1a

On peut déjà prouver facilement que a1=a avec la propriété a(n+1)=an+a pour n=0: a1=a(0+1)=a0+a=a. Il reste à montrer que 1a=a et sans surprise par récurrence. Pour a=0 on a bien 10=0.

On suppose donc 1a=a et on a 1(a+1)=1a+11=a+1.

Théorème 7.

Élément absorbant:

a,a0=0=0a

On sait déjà que a0=0, il reste à montrer que 0a=0. On le fait par récurrence. Pour a=0 on a bien 00=0.

On suppose donc 0a=0, on a:

0(a+1)=0a+01=0+0=0
Théorème 8.

Commutativité:

a,b,ab=ba

Par récurrence sur b. Pour b=0 on a bien a0=0a=0. On suppose donc ab=ba:

a(b+1)=ab+a=ba+a=(b+1)a