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Union et intersection

Union

Propriétés

Il est possible à partir de la définition de l'union de deux ensembles de prouver certaines propriétés:

Idempotence

AA=A

Commutativité

AB=BA

Associativité

A(BC)=(AB)C

Définition

On a déjà définit l'union de deux ensembles, rappelons que si on a deux ensembles A et B, on forme l'ensemble {A,B} gràce à l'axiome de la paire, et on applique à cet ensemble l'axiome de la réunion: on obtient l'ensemble AB noté par la lettre D dans l'axiome de la réunion.

Propriétés

On peut déjà lister quelques propriétés de l'union. On peut toutes les prouver avec les axiomes vues précédemment.

Idempotence

AA=A

Commutativité

AB=BA

Associativité

A(BC)=(AB)C

Intersection

Définition

Si on a deux ensembles A et B, on forme l'ensemble AB qui est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. On le définit en compréhension:

AB={XAB|XAXB}

Propriétés

Elles sont similaires à celle de l'union.

Idempotence

AA=A

Commutativité

AB=BA

Associativité

A(BC)=(AB)C

Distributivité

On peut énoncer encore deux propriétés de l'union et de l'intersection:

A(BC)=(AB)(AC)

Et:

A(BC)=(AB)(AC)