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Différents types de relations

Fonction

Une fonction est une relation où chaque élément a au plus une image. C'est à dire que si on a une fonction f, alors un élément aDom(f) a un seule image, donc il existe un seul élément bIm(f) tel que (a,b)f.

Puisque chaque élément xDom(f) a une seule image, on note cette image f(x) ce qu'on ne pourrai pas faire avec une relation qui ne soit pas une fonction, car si x avait deux images, on ne saurait pas laquelle des deux désigne l'expression f(x).

On a donc si f est une fonction:

xDom(f)!y,(x,y)f

Application

Une application est un type particuliers de fonction: il s'agit d'une fonction où tous les éléments de l'ensemble de départ on une image. Si A est l'ensemble de départ, on a:

Dom(f)=A

Injection

Une injection est un type particuliers d'application: tous les éléments de l'ensemble d'arrivée on au plus un antécédent. C'est à dire que:

yIm(f)!x,(x,y)f

Surjection

Une surjection est un type particuliers d'application: tous les éléments de l'ensemble d'arrivée on au moins un antécédent. C'est à dire que si B est l'ensemble d'arrivée:

Im(f)=B

Bijection

Une bijection est une application à la fois injective et surjective. Dans le cas d'une bijection, chaque élément de l'ensemble de départ a une et une seule image et chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent. On peut donc conclure que si il existe une bijection entre A et B, alors ils ont le même nombre d'éléments.

Loi de composition interne

Définition 1.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur E est une application de E×E dans E dans E.

Une loi de composition interne est souvent noté avec un simple symbole comme . On note, si l'image de (a,b)E est cE:

ab=c
Définition 2.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit que cette loi est commutative si:

a,bE,ab=ba
Définition 3.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit que cette loi est associative si:

a,b,cE,a(bc)=(ab)c
Définition 4.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'il existe un élément neutre pour si:

nE:aE,an=a
Définition 5.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'il existe un élément neutre pour si:

nE:aE,an=a
Définition 6.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur cet ensemble qui admet un élément neutre n, on dit qu'il existe un élément symétrique pour chaque élément de E si:

aE,a*E:aa*=n
Définition 7.

Soit E un ensemble, et deux lois de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'on a distributivité de par rapport à si:

a,b,cE,a(bc)=(ab)(ac)