Introduction

Les paradoxes de Zénon d'Elée

Zénon d'Elée était un philosophe grec né vers -495. Il était l'élève de Parménide et soutenait sa doctrine: Parménide pensait que tout mouvement est impossible ou n'est qu'illusion. C'était une conclusion basée sur des raisons assez étranges, sur l'unicité de l'Être: Parménide affirme que la pluralité n'existe pas et par conséquent le mouvement non plus.

Zénon va tenter de prouver ce point de vue en énonçant plusieurs paradoxes sur le mouvement des corps. Le plus connu de ces paradoxes (et le plus difficile à résoudre) est le fameux paradoxe d'Achille et de la tortue.

Ces paradoxes sont nombreux et sont pour la plupart assez faciles à réfuter. Voici trois des plus célèbre de ces paradoxes:

1. Le paradoxe d'Achille et de la tortue que nous analyserons plus loin,
2. Le paradoxe de la pierre lancé vers un arbre: une pierre lancée vers un arbre ne pourra jamais l'atteindre car avant cela elle devra parcourir la moitié du parcours, mais pour cela elle devra d'abord parcourir la moitié de cette distance (donc le quart de la distance totale), et ainsi de suite: la flèche n'ateindra jamais son objectif (remarque: ce paradoxe est fondamentalement identique au précédent comme nous le verrons),
3. Enfin, le paradoxe de la flèche en vol: imaginons une flèche en vol. A chaque instant, elle occupe une position bien précise et si on l'observe la flèche sur un seul instant infiniment bref, elle n'a pas le temps de bouger, et une succession de position fixes ne peut engendrer un mouvement: la flèche ne peut donc pas bouger! (on reparle de ce paradoxe dans la partie «Fonction dérivée» de ce cours).

Il faut remarquer que ces «paradoxes» sont a proprement parler des sophismes.

Qu'est ce que l'analyse?

L'analyse mathématique est l'étude rigoureuse du «calcul infinitésimal». Les termes d'«analyse» et de «calcul infinitésimal» sont en fait des synonymes, le premier terme étant plus moderne et tendant à remplacer le second. Mais l'expression «calcul infinitésimal» n'a pas seulement un intérêt historique, il a aussi un certain intérêt pédagogique.

En effet, il faut essayer de comprendre qu'est ce que l'on entend par «infinitésimal». Pour le comprendre, nous allons adopter un point de vue historique et discuter de la forme la plus ancienne de «calcul infinitésimal», ou plus exactement, quelque chose qui y ressemble: c'est la méthode d'exhaustion, utilisée par les grecques durant l'antiquité.

Cette méthode était par exemple utilisée pour calculer la surface d'un disque. On encadrait un disque en construisant un polygone régulier à l'intérieur du disque, et un autre englobant le disque. En calculant les surfaces respectives de ces deux polygones, on savait que la surface du disque était quelque part entre ces deux valeurs. Puis, en augmentant le nombres de côtés de deux polygones, on approchait de plus en plus de la surface, et l'encadrement devenait de plus en plus précis.

La chose intéressante est qu'il est possible de déduire la surface exacte du disque. Il suffit en effet d'augmenter le nombre de côtés à l'«infini», c'est à dire que l'on considère un cercle comme un polygone régulier ayant un nombre infini de côtés, chacun de ces côtés ayant une longueur nulle. On pourrait croire qu'une telle chose est impossible à calculer mais nous verrons qu'il n'en est rien.

La suite du chapitre a donc deux buts: formaliser ce genre de raisonnement, et comprendre mieux les pièges et les subtilités que l'on rencontre lorsque l'on parle d'infini.