Théorème de Rolle

Introduction

Le théorème de Rolle est tout aussi facile à comprendre que le précédent. Sa facilité ne doit pas faire oublier son importance dans l'élaboration rigoureuse de l'analyse; il est effet nécessaire en mathématique de démontrer toute assertion, aussi évident soit-elle intuitivement.

Nous allons ici donner l'intuition sous-jacente à ce théorème, sans aller dans les détails mathématiques. Considérons une fonction sur un certain intervalle $[a,b]$, cette fonction étant telle que:

Le théorème de Rolle nous dit alors que si la fonction est dérivable, il existe un certain point $c$ entre $a$ et $b$ tel que:

Une première manière de comprendre ce résultat est de visualiser un dessin et de voir que la «pente instantanée» de la fonction s'annule en un point. Je vous propose ici une méthode plus «cinématique».

Nous avons vu que la vitesse en fonction du temps est la dérivée (par rapport au temps) de la fonction de la position en fonction du temps. Imaginons une fourmi se déplaçant sur un axe gradué, et un expérimentateur mesure sa position sur l'axe en fonction du temps. Son mouvement se fait sur une dimension, mais peut-être assez compliqué: elle change de vitesse, peut faire des demi-tours,... Il est possible à partir des mesures de construire une fonction $x(t)$ de la position en fonction du temps. Imaginons qu'elle repasse deux fois au même endroit, par exemple au temps $t=10s$ et $t=20s$, c'est à dire mathématiquement:

Le théorème dit alors, qu'à un certain temps $t^{*}$, entre dix et vingt secondes:

Mais la dérivée de $x(t)$ donnant la vitesse, on sait donc qu'au temps $t^{*}$, la vitesse de la fourmi est nulle. Cela est tout à fait normal: étant repassée deux fois au même endroit, elle a dû au moins une fois faire demi-tour, à l'instant précis où elle fait demi-tour, sa vitesse est nulle.

Énoncé

Démonstration

Si la fonction est constante sur $[a,b]$, le théorème est bien évidemment vrai. Dans le cas contraire, la fonction passe par un certain maximum global que l'on note $f(c)$. Le maximum étant atteint au point $c$ on a, quel que soit $h>0$ et tel que $c+h\in [a,b]$:

Si fait tendre $h$ vers zéro par valeurs positives, on peut en déduire que $f\prime (c)\le 0$.

Toutefois, on peut très bien refaire le même raisonnement avec des valeurs négative de $h$, cette fois, on aurait:

Et donc cette fois, $f\prime (c)\ge 0$. On en conclut donc que $f\prime (c)=0$.