Fonctions dérivées

Introduction

On va reprendre le paradoxe de la flèche en vol, et montrer que le paradoxe n'est qu'apparent.

On peut faire une première remarque: il faut distinguer ce qu'est un instant et ce qu'est une durée aussi courte soit-elle. Durant, une durée même extrêmement courte, la flèche se déplace - même si c'est une distance vraiment très petite. Ainsi, lorsque l'on observe la flèche sur une durée de plus en plus petite, on ne constate jamais que le mouvement de la flèche devient nul.

Supposons que la flèche suit une trajectoire parfaitement rectiligne, et que sa vitesse $v$ est constante. Si on l'observe pendant un certains temps $t$ , elle parcourt une distance $d$ tel que $v = \frac{d}{t}$ . Lorsque l'on observe la flèche sur un temps de plus en plus court, on la voit parcourir une distance de plus en plus courte, et à chaque fois que l'on calcule le rapport $\frac{d}{t}$ on trouve toujours la même chose: $v$ . On peut donc dire que la vitesse à un moment donné est $v$ , alors que l'on a l'habitude de calculer des vitesses moyennes c'est à dire que nous calculons toujours une vitesse sur une certaine durée. Ici on dira que la vitesse instantanée de la flèche à un certain moment (par exemple à $t = 2 s$ ) est $v$ .

L'exemple ici est assez simple car la vitesse est constante. Mais on peut avoir des exemples de mouvement ou la vitesse change à chaque instant. Nous allons voir maintenant comment traiter ce genre de cas.

Le nombre dérivé

Imaginons un corps qui se déplace de manière rectiligne et dont on peut facilement connaître la position en fonction du temps, c'est à dire que nous avons une fonction $f$ tel que:

x = f (t)

Le mobile est donc à la position $x$ au temps $t$ . Observons la position du mobile après un temps $Δ t$ très court pour avoir la meilleure estimation possible de la vitesse instantanée: le mobile sera donc à la position $f (t)$ au temps $t$ et à la position $f (t + Δ t)$ un court instant plus tard. La vitesse sera donc la distance parcourue $Δ d = f (t + Δ t) - f (t)$ divisée par le temps $Δ t$ : $v = \frac{f (t + Δ t) - f (t)}{Δ t}$

Plus $Δ t$ sera petit et plus la mesure de la vitesse sera précise. On va donc utiliser une nouvelle fois la notion de limite:

v = lim_{Δ t \to 0} \frac{f (t + Δ t) - f (t)}{Δ t}

Prenons un exemple: $f (t) = t^{2}$ et essayons de connaître la vitesse au temps $t = 2 s$ . On a (petit rappel: $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ):

\begin{matrix} v & = lim_{Δ t \to 0} \frac{(2 + Δ t)^{2} - 2^{2}}{Δ t} \\ = lim_{Δ t \to 0} \frac{2^{2} + (Δ t)^{2} + 4 Δ t - 2^{2}}{Δ t} \\ = lim_{Δ t \to 0} \frac{(Δ t)^{2} + 4 Δ t}{Δ t} \\ = lim_{Δ t \to 0} (Δ t + 4) \\ = 4 m / s \end{matrix}

La vitesse du mobile après 2 secondes est donc de 4 mètres par secondes.

On dit dans ce cas que l'on calcule le nombre dérivé de la fonction en $2$ (ce nombre est $4$ ).

On a donc la définition suivante:

Définition 5.

Soit une fonction $f : I \to ℝ$ , cette fonction est dérivable en $x_{0} \in I$ si le nombre $α$ défini par:

α = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

existe et appartient à $ℝ$ , ce nombre est alors appelé nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$ .

On peut illustrer cela graphiquement. Mais avant d'aller plus loin, il peut peut être nécessaire de faire un rappel sur la notion de pente d'une droite:

Rappel pour ceux qui ne sont pas familiers avec la notion de pente d'une droite: prenons par exemple, la droite ci dessous:

On voit que cette droite «monte», on dit qu'elle a une certaine «pente». Plus la droite «monte» plus la valeur de la pente est forte. On va maintenant montrer comment on calcule cette pente. Observez le schéma suivant:

Le dessin est quadrillé pour une meilleur compréhension. Si on part d'un point quelconque du graphique, on voit que si l'on avance de deux cases vers la droite, on doit remonter ensuite d'une case pour retrouver le graphique. On dit donc que la pente de la droite est de un demi.

On montre sur le dessin comment on peut calculer la pente de la droite. On choisi deux points quelconques du graphique et on regarde la différence d'abscisse (que l'on note $Δ x$ ) et la différence d'ordonnée $Δ y$ . On a donc pour calculer la pente $m$ , la formule: $m = \frac{Δ x}{Δ y}$ . On voit aussi sur le dessin que le calcul de la pente donne le même résultat quel que soit les deux points choisis.

Revenons sur la notion de nombre dérivé. Prenons une fonction $f$ quelconque.

Considérons la droite passant par les points $f (x_{0})$ et $f (x_{0} + Δ x)$ (voir schéma ci dessous):

Une fonction quelconque est tracée en bleu. On prend deux points, $x_{0}$ et $x_{0} + Δ x$ , et on regarde leurs images.

On peut repérer sur le graphique les points $(x_{0}, f (x_{0}))$ et $(x_{0} + Δ x, f (x_{0} + Δ x))$ , et tracer la droite passant par ces deux points. On obtient la droite en rouge sur le dessin. On a donc que la pente de la droite est: $m = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ .

On sait que le nombre dérivé est: $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ , c'est à dire la pente de la droite lorsque $Δ x$ tend vers zéro. C'est à dire, si vous regardez à nouveau le schéma, quand $x_{0}$ et $x_{0} + Δ x$ sont infiniment proches et donc que la droite en rouge ne touche plus qu'un seul point du graphique: on peut dit alors que la droite est tangente au graphique. Exemple en image:

On a tracé en bleu la fonction $f (x) = \sqrt{x}$ . Le nombre dérivé en $x_{0} = 4$ est (rappel: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ):

$\begin{matrix} α & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (4 + Δ x) - f (4)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sqrt{4 + Δ x} - \sqrt{4}}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{(\sqrt{4 + Δ x} - \sqrt{4}) (\sqrt{4 + Δ x} + \sqrt{4})}{Δ x (\sqrt{4 + Δ x} + \sqrt{4})} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{(4 + Δ x) - 4}{Δ x (\sqrt{4 + Δ x} + \sqrt{4})} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x (\sqrt{4 + Δ x} + \sqrt{4})} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + Δ x} + \sqrt{4}} \\ = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} \\ = \frac{1}{4} \end{matrix}$

Si on trace la tangente en $x = 4$ , on a donc que la pente de la droite est $\frac{1}{4}$ (voir schéma).

Fonction dérivée

À partir de la notion de nombre dérivé, on peut définir la fonction dérivée. Supposons que nous avons une fonction $f$ , et que nous pouvons calculer le nombre dérivée en chaque point de l'intervalle $I$ . À chaque point $x$ de l'intervalle $I$ , on peut donc associer le nombre dérivé de $f$ en $x$ et on obtient donc la fonction dérivée (notée $f' (x)$ ou encore $\frac{d f}{d x}$ ) défini comme suit:

Définition 6.

Soit une fonction $f : I \to ℝ$ , on dit que la fonction est dérivable sur $I$ si $\forall x \in I$ le nombre dérivé de $f$ en $x$ existe, et la fonction dérivée est définie par:

f' (x) = \frac{d f (x)}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Remarque: on utilise souvent la lettre «h» au lieu de $Δ x$ pour alléger l'écriture.

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