Qu'est ce que la logique?
Définition
Le mot «logique» vient du grecque «logos» qui signifie «parole, discours», et par extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c'est la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d'un raisonnement qui ne l'est pas.
La logique a ceci de particulier que l'on s'y intéresse aussi bien en mathématique pure qu'en philosophie. La façon d'aborder le problème est bien différente dans les deux cas. On va bien sûr dans la suite se focaliser sur la logique mathématique, mais il est bien évident qu'il n'est pas interdit de «philosopher» sur les concepts mathématiques dont nous allons discuter.
La notion de vérité
Discuter de la notion de vérité est extrêmement délicat. Il suffit par exemple de chercher sur internet «vérité absolue» pour trouver un grand nombre de discussions visant à la fois à chercher si il existe une vérité absolue, mais même à comprendre ce que cela veut dire exactement. Il y a dans ce genre de débat une double interrogation: est-ce qu'il existe une vérité objective (donc indépendante de la connaissance que nous avons ou non de cette vérité), et est ce qu'il est possible de l'atteindre, donc à la fois d'accéder à cette vérité, et d'être certain de bien l'avoir trouvé (on peut en effet avoir raison sans en avoir la preuve).
Nous n'allons pas ici nous attarder sur ces problèmes, qui surgissent souvent en raison d'une définition trop imprécise de l'expression «vérité absolue». Je vais juste montrer comment on peux éviter ces problèmes dans le cadre d'une première approche de la notion de vérité. On suppose qu'il existe des vérités objectives dans le sens suivant: si une vérité portant sur un système physique peut dépendre de son observation (d'une façon ou d'une autre, éventuellement tout à fait classique, il n'est sûrement pas question ici de faire de la «métaphysique quantique»!), ou de tout autre influence extérieure, alors on peut toujours parler de vérités portant sur le système plus large:
«système physique + observateur + tout autre système physique en interaction avec le système étudié»
Notez ici l'anthropocentrisme: il n'y a a priori pas de raison de distinguer l'observateur des autres sources d'influence, en fait la seule raison de se présence est de supprimer toute la problématique de la subjectivité de l'observateur ou de son influence sur le système. Mais en faisant cela, on «triche», car on ne peut pas, étant nous-même observateurs du monde, établir une vérité portant sur un système dont nous faisons partie, précisément à cause de notre subjectivité et de nos interactions avec le monde extérieure Notons quand même en passant que si l'on ne peut donc pas en principe être certain de la véracité d'une théorie, on peut en avoir un certain niveau de confiance, comme nous l'avons discuté dans le chapitre sur la science. Il n'est donc pas question de dissocier complètement la science de la «réalité extérieure», ce serait là une position relativiste très extrême. Mais ce n'est pas important pour le sujet qui nous préoccupe, il ne s'agit pas ici de découvrir ces vérités, mais de savoir qu'elles sont là, ce qui est suffisant pour en parler.
Le paradoxe du menteur
Ces problèmes étant (au moins pour l'instant) mis de côtés, on va rencontrer un type de problème bien plus grave. Le problème est de savoir si la phrase suivante est vraie ou fausse:
Cette phrase est fausse.
On voit tout de suite l'impossibilité de décider si cette phrase est vrai ou fausse: si elle vraie, c'est qu'elle est fausse, et inversement! Ce problème très connus est appelé paradoxe du menteur. Il existe un certain nombre de solutions proposées pour résoudre ce paradoxe, nous allons nous contenter d'exposer la solution donnée par le logicien Alfred Tarski.
L'énoncé «Cette phrase est fausse» est écrite dans un langage (ici le français) qui est sémantiquement clos. Un langage sémantiquement clos est un langage dans lequel on peut exprimer la vérité d'un énoncé écrit dans cette même langue. C'est cette «capacité» de ces langages qui permettent l'apparition de paradoxes comme le paradoxe du menteur, les pourquoi les langages sémantiquement clos sont dit inconsistants.
On peut donc éviter ce type de paradoxe par l'utilisation de langages sémantiquement ouvert (qui sont simplement les langages qui ne sont pas sémantiquement clos). Mais alors, si on ne peut exprimer la vérité d'un énoncé dans un langage sémantiquement ouvert, comment parler de la vérité d'un énoncé dans un tel langage?
Pour cela, il faut utiliser un autre langage, précisément un méta-langage. Si on veut exprimer (définir) la notion de vérité dans un langage , on peut le faire dans un méta-langage . Ce langage est lui-même sémantiquement ouvert (puisque c'est requis pour ne pas avoir un langage inconsistant), on ne peut donc pas dans exprimer la vérité d'un énoncé de . Pour cela, il faut un autre (méta)-langage, , et ainsi de suite. Il apparaît donc une hiérarchie dans les langages, c'est ainsi que cette solution du paradoxe du menteur est appelée la solution hiérarchique.