Tautologies

Définition

Définition 5.

Une tautologie est un énoncé qui est vrai pour toute $L$ -valuation.

Exemples:

Un énoncé de la forme $A \Rightarrow A$ est une tautologie: que $A$ soit vrai ou faux, cette formule est toujours vrai. On peut le démontrer avec une table de vérité.

$A$	$A \Rightarrow A$
V	V
F	V

Un énoncé de la forme $A \lor \neg A$ (principe du tiers exclu) est une tautologie: on peut le démontrer avec une table de vérité.

$A$	$\neg A$	$A \lor \neg A$
V	F	V
F	V	V

On voit donc ici la méthode de démonstration avec une table de vérité: la dernière colonne ne contient que des «V», c'est donc que l'énoncé est forcément vrai.

Tautologies remarquables

Voici maintenant une liste de tautologie. Elle peuvent parfois être utiles pour simplifier un énoncé. En effet, si $A$ et $B$ sont des énoncés et que l'on a $A \Leftrightarrow B$ , on peut remplacer $A$ par $B$ ou $B$ par $A$ .

Identité

A \Leftrightarrow A

Double négation

A \Leftrightarrow \neg \neg A

Idempotence

\begin{matrix} A \Leftrightarrow (A \lor A) \\ A \Leftrightarrow (A \land A) \end{matrix}

Commutativité

\begin{matrix} A \lor B \Leftrightarrow B \lor A \\ A \land B \Leftrightarrow B \land A \end{matrix}

Associativité

\begin{matrix} (A \lor (B \lor C)) \Leftrightarrow ((A \lor B) \lor C) \\ (A \land (B \land C)) \Leftrightarrow ((A \land B) \land C) \end{matrix}

Distributivité

\begin{matrix} (A \lor (B \land C)) \Leftrightarrow ((A \lor B) \land (A \lor C)) \\ (A \land (B \lor C)) \Leftrightarrow ((A \land B) \lor (A \land C)) \end{matrix}

Absorption

\begin{matrix} (A \lor (A \land B)) \Leftrightarrow A \\ (A \land (A \lor B)) \Leftrightarrow A \end{matrix}

Loi de De Morgan

\begin{matrix} \neg (A \lor B) \Leftrightarrow (\neg A \land \neg B) \\ \neg (A \land B) \Leftrightarrow (\neg A \lor \neg B) \end{matrix}

Conditionnel matériel

\begin{matrix} (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A \lor B) \\ (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg (A \land \neg B) \end{matrix}

Contraposition

(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)

Équivalence matérielle

\begin{matrix} (A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) \\ (A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) \end{matrix}

Exportation-importation

((A \land B) \Rightarrow C) \Leftrightarrow (A \Rightarrow (B \Rightarrow C))

Pour compléter, on peut lister une série de tautologie qui ne sont pas des équivalences (c'est à dire sans le symbole $\Leftrightarrow$ ):

Identité

A \Rightarrow A

Tiers exclu

A \lor \neg A

Loi de Peirce

((A \Rightarrow B) \Rightarrow A) \Rightarrow A

Modus Ponens

(A \Rightarrow B) \land A \Rightarrow B

Modus Tollens

(A \Rightarrow B) \land \neg B \Rightarrow \neg A

Modus Barbara

(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow C)

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