L'ensemble des naturels

Introduction

Le concept de «nombre» existe depuis la nuit des temps. C'est un concept fondamental en mathématique, c'est pourquoi Gauss disait: La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques.

Un type de nombre en particuliers se distingue des autres: les nombres naturels. On désigne sous ce terme les nombres entiers positifs: 0, 1, 2, 3, ... sont des nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels est noté par la lettre $\mathbb{N}$.

Les pythagoriciens attribuait à ces nombres un statut spécial. Pour eux, seuls les nombres naturels étaient vraiment «naturels», et le résultat d'une mesure ne pouvait être qu'un nombre naturel, ou un rapport entre deux nombres naturels (une fraction entière). Pourtant, un jour, les pythagoriciens démontrèrent qu'un nombre ayant une signification géométrique claire (dans le sens que l'on peut facilement construire géométriquement un segment dont la longueur est ce nombre) ne pouvait pas se mettre sous la forme d'une fraction entière. Ce nombre est la racine carré de deux.

La découverte de ce nombre jeta un trouble chez les disciples de Pythagore: cela contredisait leur philosophie! Il est d'ailleurs intéressant que ces nombres (qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction entière) ont été baptisés «irrationnels». Le trouble fut tel qu'il fut décidé que cette découverte devait rester secrète. Ainsi on raconte même qu'un pythagoricien, Hippase de Métaponte, fut jeté à la mer et mourra noyé pour avoir osé divulgué ce secret. Proclus, un historien du cinquième siècle raconte:

«On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues.»

Cette histoire illustre bien l'étrange attraction qu'exerce l'ensemble des naturels. Leurs importance n'est pas seulement philosophique: les naturels ont une place de choix dans les mathématiques, par exemple, c'est à partir de cet ensemble que nous allons définir le raisonnement par récurrence, technique de démonstration très puissante.

Nous avons déjà introduit le concept de nombre naturel en terme d'ensemble. On arrivait à construire à partir de l'axiome de l'infini un ensemble qui contenait des nombres entiers avec des propriétés étranges comme $1\in 2$ car on avait considéré les nombres comme des ensembles. On avait dit alors que l'on pouvait prouver qu'il existe un ensemble qui ne contient que des nombres puisqu'on n'était pas sûr que c'était le cas de l'ensemble $\omega$. Ce ce que nous allons faire maintenant.

Définir l'ensemble des naturels

Nous avons montré dans le cadre de la théorie des ensembles, que l'on pouvait construire un ensemble qui contient les éléments $0,1,2,3,...$ plus éventuellement d'autres éléments. Il suffit donc, pour définir l'ensemble des nombres naturels, de considérer l'ensemble de ces ensembles, et de dire que l'ensemble des naturels est «le plus petit» de ces ensembles. On élimine ainsi les éléments «parasites». La manière formelle dont on procède est décrite dans les modes «normal» et «difficile».

On sait tout d'abord qu'il existe au moins un ensemble, que nous notons $\omega$, qui a comme propriété:

D'autre ensembles que $\omega$ ont peut-être aussi cette propriété. On va noter cette propriété $P$:

Il existe donc certainement plusieurs ensembles vérifiant cette propriété. Parmi eux se trouve l'ensemble de nombres que l'on cherche à définir, plus d'autre qui sont des sur-ensembles de cet ensemble car ils ont des éléments en plus. L'ensemble de nombres est donc «le plus petit» de ces ensembles. On va le noter $\mathbb{N}$.

Puisque $\mathbb{N}$ est «le plus petit» de ces ensembles, si on a un élément $n\in \mathbb{N}$, alors $n$ est aussi élément de tous les ensembles qui vérifient la propriété $P$. De même, si $n$ est élément de tous les ensembles qui vérifient la propriété $P$, alors $n\in \mathbb{N}$ puisque $\mathbb{N}$ vérifie la propriété $P$. On tiens donc un critère pour savoir quels éléments parmi les éléments de $\omega$ sont éléments de $\mathbb{N}$ et on le définit en compréhension:

On a donc l'ensemble:

On dit que c'est l'ensemble des nombres naturels.

Notion de successeur

Nous avons vu en théorie des ensemble, que l'on peut définir la notion de successeur dans l'ensemble des naturels (voir l'axiome de l'infini). Ainsi, à chaque nombre $x\in \mathbb{N}$, on peut associer «l'élément suivant» que l'on note $s(x)$.

On a donc tout simplement: $s(0)=1$, $s(1)=2$, ...