Aller au contenu Aller au menu Politique d'accessibilité

Free Sciences Site sur les mathématiques, la physique et l'informatique.

Différents types de relations

Fonction

Une fonction est une relation où chaque élément a au plus une image. C'est à dire que si on a une fonction f, alors un élément a∈Dom(f) a un seule image, donc il existe un seul élément b∈Im(f) tel que (a,b)∈f.

Puisque chaque élément x∈Dom(f) a une seule image, on note cette image f(x) ce qu'on ne pourrai pas faire avec une relation qui ne soit pas une fonction, car si x avait deux images, on ne saurait pas laquelle des deux désigne l'expression f(x).

On a donc si f est une fonction:

x∈Dom(f)⇒∃!y,(x,y)∈f

Application

Une application est un type particuliers de fonction: il s'agit d'une fonction où tous les éléments de l'ensemble de départ on une image. Si A est l'ensemble de départ, on a:

Dom(f)=A

Injection

Une injection est un type particuliers d'application: tous les éléments de l'ensemble d'arrivée on au plus un antécédent. C'est à dire que:

y∈Im(f)⇒∃!x,(x,y)∈f

Surjection

Une surjection est un type particuliers d'application: tous les éléments de l'ensemble d'arrivée on au moins un antécédent. C'est à dire que si B est l'ensemble d'arrivée:

Im(f)=B

Bijection

Une bijection est une application à la fois injective et surjective. Dans le cas d'une bijection, chaque élément de l'ensemble de départ a une et une seule image et chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent. On peut donc conclure que si il existe une bijection entre A et B, alors ils ont le même nombre d'éléments.

Loi de composition interne

Définition 1.

Soit E un ensemble, une loi de composition interne sur E est une application de E×E dans E dans E.

Une loi de composition interne est souvent noté avec un simple symbole comme ∘. On note, si l'image de (a,b)∈E est c∈E:

a∘b=c
Définition 2.

Soit E un ensemble, ∘ une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit que cette loi est commutative si:

∀a,b∈E,a∘b=b∘a
Définition 3.

Soit E un ensemble, ∘ une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit que cette loi est associative si:

∀a,b,c∈E,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c
Définition 4.

Soit E un ensemble, ∘ une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'il existe un élément neutre pour ∘ si:

∃n∈E:∀a∈E,a∘n=a
Définition 5.

Soit E un ensemble, ∘ une loi de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'il existe un élément neutre pour ∘ si:

∃n∈E:∀a∈E,a∘n=a
Définition 6.

Soit E un ensemble, ∘ une loi de composition interne sur cet ensemble qui admet un élément neutre n, on dit qu'il existe un élément symétrique pour chaque élément de E si:

∀a∈E,∃a*∈E:a∘a*=n
Définition 7.

Soit E un ensemble, ∘ et • deux lois de composition interne sur cet ensemble, on dit qu'on a distributivité de ∘ par rapport à • si:

∀a,b,c∈E,a∘(b•c)=(a∘b)•(a∘c)