Axiome de l'infini

Idée générale de l'axiome

Cet axiome est intéressant car il introduit un nouvel ensemble qui peut être vu comme un ensemble de nombres. Mais avant commencer nous avons besoin de définir la notion d'union de deux ensembles.

Union de deux ensembles

Soit deux ensembles $A$ et $B$. On peut construire l'ensemble «$A$ union $B$» qui contient tout les éléments de $A$ et de $B$. On va essayer de construire l'ensemble «$A$ union $B$» qui contient tout les éléments de $A$ et de $B$. À partir des ensembles $A$ et $B$ on applique le théorème de la paire et on sait qu'il existe un ensemble $C$ ayant $A$ et $B$ comme seuls éléments. On applique maintenant l'axiome de la réunion sur l'ensemble $C$, on sait donc qu'il existe un ensemble qui contient tout les éléments des éléments de $C$, c'est à dire tout les éléments de $A$ et de $B$. On va noter cet ensemble $A\cup B$.

Ensemble ayant un élément quelconque

On doit utiliser un ensemble ayant un seul élément $X$, et il faut montrer qu'il est possible de construire cet ensemble à partir d'un ensemble quelconque $X$. Tout d'abord, si on applique le théorème de la paire sur deux fois le même ensemble $X$, on peut construire l'ensemble $C$ qui contient deux fois l'élément $X$. En appliquant l'axiome d'extensionnalité sur l'ensemble $C$, on voit que $C$ est égal à l'ensemble qui ne contient qu'un élément $X$ (on peut supprimer les répétitions) et on a donc prouvé que l'on pouvait construire cet ensemble que nous allons noter $\left\{X\right\}$.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Il existe un ensemble $\omega$ dont l'ensemble vide est élément, tel que quel que soit $X$ appartenant à $\omega$, $X\cup \left\{X\right\}\in \omega$.

Écriture formelle

En langage formel, l'axiome s'écrit:

Conséquences

Il reste à discuter des conséquences de cet axiome.

Nous savons que l'ensemble vide appartient à $\omega$. L'axiome nous dit encore que puisque $\varnothing \in \omega$, $\varnothing \cup \{\varnothing \}\in \omega$ mais on a (par définition de l'union et de l'ensemble vide) $\varnothing \cup \{\varnothing \}=\{\varnothing \}$ et donc $\{\varnothing \}\in \omega$ (rappelons que l'on note $\left\{X\right\}$ l'ensemble qui contient $X$ comme unique élément).

Pour pousser le raisonnement plus loin on doit avoir des notations plus simples. On va donc noter $0=\varnothing$. On a aussi l'ensemble $0\cup \left\{0\right\}$ dans $\omega$, ensemble que nous allons noter $1$. On va dire que le successeur de $0$ est $1$, et on peut définir le successeur de $1$ qui est $1\cup \left\{1\right\}$ et qu'on note $2$ et ainsi de suite. On a donc:

• $0=\varnothing$,
• $1=0\cup \left\{0\right\}=\left\{0\right\}$,
• $2=1\cup \left\{1\right\}=\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}$,
• $3=2\cup \left\{2\right\}=\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}\cup \left\{2\right\}$,
• $4=3\cup \left\{3\right\}=\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}\cup \left\{2\right\}\cup \left\{3\right\}$,
• ... ainsi de suite.

On peut donc considérer les nombres entiers comme des ensembles: chaque nombre est l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent. Par exemple l'ensemble $3=\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}\cup \left\{2\right\}$ contient comme éléments les nombres $0$, $1$ et $2$ (définition de l'union).

On sait donc qu'il existe un ensemble $\omega$ qui contient les éléments 0, 1, 2, 3, ... mais il est hâtif de dire qu'il ne contient que des nombres. Rien dans l'axiome ne permet d'affirmer cela. Pourtant, le fait qu'un tel ensemble existe ne fait pas de doute car cet ensemble est un sous-ensemble de $\omega$. Cette remarque ne suffit cependant pas à définir cet ensemble de manière formelle. On verra cependant dans la partie «Nombres naturels» que l'on peut définir cet ensemble en compréhension.