Théorème des accroissements finis
Introduction
Ce théorème ressemble un peu au précédent. On considère une fonction sur un certain intervalle (dérivable et continue). Ce théorème dit qu'il existe un certain point entre et tel que:
Le théorème précédent est un cas particuliers de celui-ci: si , alors . Pour comprendre ce qui se passe, il faut noter que la quantité:
représente la «pente moyenne» de la fonction entre et . Reprenons un exemple cinématique. On part en voiture d'un point pour arriver au point , la vitesse de la voiture est susceptible de changer régulièrement pendant le voyage. En supposant que la voiture aille en ligne droite, la distance entre les points et est ; et étant les temps de passages au points et respectivement. Pour calculer la vitesse moyenne, on divise la distance parcourue par le temps :
En appliquant le théorème, on sait qu'il existe un certain temps ou la vitesse instantanée de la voiture sera égale à sa vitesse moyenne. C'est logique: si on fait un parcours à 60 kilomètres par heure de moyenne, à un instant donné au moins on aura été à cette vitesse.
Énoncé
Soit , une fonction continue, dérivable sur . Il existe tel que:
Démonstration
On pose , étant une certaine constante réelle. On fixe cette constante en imposant que , c'est à dire qu'on doit avoir:
Il ensuite facile d'isoler , on obtient:
Comme est par construction continue sur et dérivable sur , et que de plus , il satisfait aux conditions du théorème de Rolle. Il existe donc un certain tel que . Partant de la définition de et en dérivant, s'écrit: