Théorème des accroissements finis

Introduction

Ce théorème ressemble un peu au précédent. On considère une fonction sur un certain intervalle $[a,b]$ (dérivable et continue). Ce théorème dit qu'il existe un certain point $c$ entre $a$ et $b$ tel que:

Le théorème précédent est un cas particuliers de celui-ci: si $f(b)=f(a)$, alors $f\prime (c)=0$. Pour comprendre ce qui se passe, il faut noter que la quantité:

représente la «pente moyenne» de la fonction entre $a$ et $b$. Reprenons un exemple cinématique. On part en voiture d'un point $a$ pour arriver au point $b$, la vitesse de la voiture est susceptible de changer régulièrement pendant le voyage. En supposant que la voiture aille en ligne droite, la distance entre les points $a$ et $b$ est $x(t_b)-x(t_a)$; $t_b$ et $t_a$ étant les temps de passages au points $a$ et $b$ respectivement. Pour calculer la vitesse moyenne, on divise la distance parcourue par le temps $t_b-t_a$:

En appliquant le théorème, on sait qu'il existe un certain temps $t^{*}$ ou la vitesse instantanée de la voiture sera égale à sa vitesse moyenne. C'est logique: si on fait un parcours à 60 kilomètres par heure de moyenne, à un instant donné au moins on aura été à cette vitesse.

Énoncé

Démonstration

On pose $g(x)=f(x)-\alpha x$, $\alpha$ étant une certaine constante réelle. On fixe cette constante en imposant que $g(a)=g(b)$, c'est à dire qu'on doit avoir:

Il ensuite facile d'isoler $r$, on obtient:

Comme $g$ est par construction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, et que de plus $g(a)=g(b)$, il satisfait aux conditions du théorème de Rolle. Il existe donc un certain $c\in [a,b]$ tel que $g\prime (c)=0$. Partant de la définition de $g$ et en dérivant, $f\prime (c)$ s'écrit: