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Théorème des accroissements finis

Introduction

Ce théorème ressemble un peu au précédent. On considère une fonction sur un certain intervalle [a,b] (dérivable et continue). Ce théorème dit qu'il existe un certain point c entre a et b tel que:

f(c)=f(b)-f(a)b-a

Le théorème précédent est un cas particuliers de celui-ci: si f(b)=f(a), alors f(c)=0. Pour comprendre ce qui se passe, il faut noter que la quantité:

f(b)-f(a)b-a

représente la «pente moyenne» de la fonction entre a et b. Reprenons un exemple cinématique. On part en voiture d'un point a pour arriver au point b, la vitesse de la voiture est susceptible de changer régulièrement pendant le voyage. En supposant que la voiture aille en ligne droite, la distance entre les points a et b est x(tb)-x(ta); tb et ta étant les temps de passages au points a et b respectivement. Pour calculer la vitesse moyenne, on divise la distance parcourue par le temps tb-ta:

vm=x(tb)-x(ta)tb-ta

En appliquant le théorème, on sait qu'il existe un certain temps t* ou la vitesse instantanée de la voiture sera égale à sa vitesse moyenne. C'est logique: si on fait un parcours à 60 kilomètres par heure de moyenne, à un instant donné au moins on aura été à cette vitesse.

Énoncé

Théorème 7.

Soit f:[a,b], une fonction continue, dérivable sur ]a,b[. Il existe c[a,b] tel que:

f(c)=f(b)-f(a)b-a

Démonstration

On pose g(x)=f(x)-αx, α étant une certaine constante réelle. On fixe cette constante en imposant que g(a)=g(b), c'est à dire qu'on doit avoir:

f(a)-αa=f(b)-αb

Il ensuite facile d'isoler r, on obtient:

α=f(b)-f(a)b-a

Comme g est par construction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, et que de plus g(a)=g(b), il satisfait aux conditions du théorème de Rolle. Il existe donc un certain c[a,b] tel que g(c)=0. Partant de la définition de g et en dérivant, f(c) s'écrit:

f(c)=g(c)+α=α=f(b)-f(a)b-a