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Théorème du sandwich

Énoncé

Le théorème du sandwich s'énonce de la manière suivante. Supposons que sur un certain intervalle, on ait trois fonctions f, g et h, tels que pour tout point x appartenant à cet intervalle, on ait:

f(x)g(x)h(x)

et que l'on ait pour un certain point a:

limxaf(x)=limxah(x)=L

alors le théorème nous dit que:

limxag(x)=L

Cela peut se comprendre de la manière suivante. La fonction g(x) est prise «en sandwich» entre f et h, si ces fonctions tendent vers une certaine limite en un point, elle se rejoignent et g(x) «prise en étau» atteint la même limite.

Introduction

Théorème 8.

Soit I un intervalle de , et aI un nombre réel. Soient encore trois fonctions f, g et h définies sur I, sauf éventuellement en a. Si:

  • xIxa,f(x)g(x)h(x)
  • limxaf(x)=limxah(x)=L

Alors:

limxag(x)=L

Démonstration

On commence par prouver un cas particuliers du théorème. On choisit f(x)=0 pour tout xI, et L=0. La deuxième hypothèse nous dit que:

limxah(x)=0

Ce qui peux s'écrire encore, par définition de la limite de fonction:

ε>0,η>0:xI,|x-a|<η|h(x)|<ε

En prenant f(x)=0 dans la première hypothèse:

xIxa,0g(x)h(x)

Donc, puisque tout est positif:

|g(x)||h(x)|

ce qui nous permet d'écrire l'expression de la limite:

ε>0,η>0:xI,|x-a|<η|g(x)||h(x)|<ε

En conclusion:

limxag(x)=0=L

Ce qui prouve donc le cas particuliers. Pour prouver le cas général, partons de:

f(x)g(x)h(x)

On soustrait f(x):

0g(x)-f(x)h(x)-f(x)

Si on fait tendre x vers a, f(x) et h(x) tendent vers L et h(x)-f(x) tend vers 0. On se retrouve dans le cas particuliers déjà prouvé, qui nous dit que g(x)-f(x)0. On a donc:

limxag(x)=(g(x)-f(x))+f(x)=0+L=L