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Théorème des accroissements finis (forme intégrale)

Introduction

Le théorème qui nous intéresse ici est un peu complexe à énoncer de manière intuitive. C'est pour cela que nous allons juste en donner un cas particuliers, et expliquer son intérêt.

Il s'énonce de la manière suivante: si on considère une fonction sur un certain intervalle [a,b], alors l'aire sous la courbe de cette fonction (que l'on peut calculer par une intégrale) est égale à l'aire d'un rectangle dont la base est l'intervalle [a,b] et la hauteur une certaine «hauteur moyenne» de la courbe.

Ce théorème (pas le cas particuliers) est utile pour définir le centre de masse de la surface sous la courbe.

Énoncé

Théorème 9.

Soit deux fonctions f et g deux fonctions continues définies sur [a,b] telles que x[a,b],g(x)0. Il existe alors un nombre c[a,b] tel que:

abf(x)g(x)dx=f(c)abg(x)dx

Démonstration

Tout d'abord, il faut noter que nous allons utiliser le théorème des bornes, qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle [a,b], possède un minimum et un maximum. Aussi simple et logique soit cette énoncé, sa démonstration l'est moins, et ne figure pas encore sur Freesciences.

Notons donc, m et M le minimum et maximum de f. On a donc, pour tout x[a,b], mf(x)M, et puisque, g(x)0:

x[a,b],mg(x)f(x)g(x)Mg(x)

Par monotonie et linéarité de l'intégrale:

x[a,b],mabg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx

Il existe donc un nombre d[a,b] tel que:

dabg(x)dx=abf(x)g(x)dx

On applique donc le théorème des valeurs intermédiaires, pour trouver c[a,b] tel que f(c)=d:

f(c)abg(x)dx=abf(x)g(x)dx

ce qui achève la démonstration.

Cas particuliers

En prenant g(x)=1, abg(x)dx=ab1dx=b-a, par simple application de la formule de l'aire d'un rectangle. On a donc:

Théorème 10.

Soit une fonction f une fonction continue définie sur [a,b]. Il existe alors un nombre c[a,b] tel que:

abf(x)dx=f(c)(b-a)