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Théorèmes fondamentaux de l'analyse

Introduction

Nous voici arrivés aux deux théorèmes fondamentaux de l'analyse, qui vont enfin nous permettre de répondre à l'une des motivations de départ, à savoir comment calculer une surface compliquée.

Ces théorèmes font le lien entre primitive et intégrale. Nous avons vu ce qu'est une intégrale mais qu'est ce qu'une primitive? C'est simple. On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f si la dérivée de F est f. Le calcul intégrale se réduit donc à une calcul de primitive, en effet, le deuxième théorème fondamental de l'analyse nous dit que:

abf(x)dx=F(b)-F(a)

On voit que si l'on connaît F le calcul est incroyablement simple !

Essayons d'en avoir une intuition «physique». Supposons un point se déplaçant sur une ligne droite, sa vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps:

v(t)=x(t)=dxdt

Les notations x(t) et dxdt sont équivalentes. La deuxième, dite notation de Leibniz, peut se comprendre de manière intuitive. En effet, à partir de la vitesse moyenne:

vm=ΔxΔt

on obtient la vitesse instantané en passant à la limite (on obtient donc la dérivée de x(t)), pour montrer cela on remplacer Δ par d:

v(t)=limΔt0ΔxΔt=dxdt

Et mathématiquement, on a tout à fait le droit de réécrire notre équation comme ceci:

v(t)dt=dx

N'oublions pas que dx n'est rien d'autre que Δx lorsque l'on prend la limite. dx est donc une «distance infinitésimale». Pour connaître la distance totale parcourue par le mobile, on additionne donc une infinité de «distance infinitésimale». C'est à dire, par l'équation précédente, sommer des termes infinitésimaux comme v(t)dt. Pour le noter, on reprend le concept de limite:

x(t)=limΔt0i=1nv(t)Δti

On retombe sur la définition de l'intégrale de Riemann ! On note alors:

x(t)=0tv(τ)dτ

On voit sur cette dernière équation qu'intégrer revient à «retomber» sur une primitive. On va maintenant énoncer cela de façon rigoureuse.

Premier théorème fondamental de l'analyse

Énoncé

Théorème 11.

Considérons une fonction f(x) continue sur l'intervalle [a,b]. Alors, la fonction F(x)=axf(t)dt est dérivable sur ]a,b[ et est telle que:

F(x)=f(x)

pour tout x appartenant à ]a,b[.

Démonstration

Prenons deux points dans [a,b], x et x+Δx. On peut écrire:

F(x+Δx)-F(x)=ax+Δxf(t)dt-axf(t)dt

On a vu l'additivité de l'intégrale, que l'on peut écrire de la manière suivante:

axf(t)dt+xx+Δxf(t)dt=ax+Δxf(t)dt

On peux donc écrire:

ax+Δxf(t)dt-axf(t)dt=xx+Δxf(t)dt

L'équation de départ peux donc se réécrire:

F(x+Δx)-F(x)=xx+Δxf(t)dt

On utilise maintenant la forme intégrale du théorème des accroissements finis, dans le cas particuliers vu précédemment:

xx+Δxf(t)dt=f(c)Δx

donc:

F(x+Δx)-F(x)=f(c)Δx

ou encore:

F(x+Δx)-F(x)Δx=f(c)

En prenant la limite quand Δx tend vers zéro, le membre de droite devient la dérivée de F(x):

F(x)=limΔx0f(c)

Pour calculer cette limite, on utilise le théorème du sandwich. On sait que xcx+Δx et que limΔx0x=x et limΔx0x+Δx=x, le théorème nous dit donc que:

limΔx0c(x)=x

c(x) est une fonction qui donne une valeur possible de c en fonction de x. Faire tendre Δx vers zéro revient donc à faire tendre c vers x, c'est à dire:

F(x)=limcxf(c)

f étant continue en c, on peut conclure:

F(x)=f(x)

Deuxième théorème fondamental de l'analyse

Énoncé

Théorème 12.

Soit une fonction f définie sur [a,b] ayant une primitive F sur [a,b], c'est à dire que pour tout x[a,b]:

f(x)=F(x)

Si f est une fonction intégrable sur [a,b], alors:

abf(x)dx=F(b)-F(a)

Démonstration

Rappelons tout d'abord la définition de l'intégrale de Riemann:

abf(x)dx=limΔx0i=1nf(yi)Δxi

Où on définit Δx comme la largeur du plus grand rectangle:

Δx=maxi{1,...,n}(Δxi)=maxi{1,...,n}(xi+1-xi)

Rappelons encore que l'on découpe l'intervalle [a,b] de telle sorte que:

a=x1<x2<...<xn+1=b

donc:

F(b)-F(a)=F(xn+1)-F(x1)

Rajoutant des termes s'annulant deux à deux (des termes comme (-F(xi)+F(xi))):

F(b)-F(a)=F(xn+1)+(-F(xn)+F(xn))+...+(-F(xi)+F(xi))+...+(-F(x2)+F(x2))-F(x1)

On peux alors regrouper différemment les termes:

F(b)-F(a)=(F(xn+1)-F(xn))+(F(xn)-F(xn-1))+...+(F(xi+1)-F(xi))+...+(F(x2)-F(x1))

C'est à dire:

F(b)-F(a)=i=1nF(xi+1)-F(xi)

Le théorème des accroissements finis nous dit qu'il existe un certain c[a,b] tel que F(c)=F(b)-F(a)b-a, c'est à dire que:

F(c)(b-a)=F(b)-F(a)

On peut aussi l'appliquer sur chaque intervalle [xi+1,xi]:

F(ci)(xi+1-xi)=F(xi+1)-F(xi)

L'équation vue un peu plus haut devient en remplaçant:

F(b)-F(a)=i=1nF(ci)(xi+1-xi)

Mais par hypothèse, F(ci)=f(ci), et utilisant la définition de Δxi:

F(b)-F(a)=i=1nf(ci)Δxi

On reconnaît bien là une somme de Riemann, il suffit donc de prendre la limite pour conclure la démonstration:

limΔx0F(b)-F(a)=limΔx0i=1nf(ci)Δxi=abf(x)dx