Intervalles dans l'ensemble des réels

Définition

On va définir maintenant la notion d'intervalle. Une définition intuitive de cette notion est simplement l'ensemble des valeurs comprises entre deux valeurs distinctes. Il faut simplement faire attention de savoir si ces deux valeurs sont comprises ou non dans l'intervalle.

Par exemple, si on dit: «l'ensemble des nombres réels entre $2$ et $3$ compris», on écrit: $[2, 3]$ et si on exclu $2$ et $3$ de cet ensemble, on écrit plutôt: $] 2, 3 [$ on peut aussi exclure $2$ et inclure $3$ : $] 2, 3]$ ou l'inverse: $[2, 3 [$

Il est possible de définir plus rigoureusement cette notion à l'aide ce que nous avons appris en théorie des ensembles:

[a, b] = {x \in ℝ | a \leq x \leq b}

] a, b] = {x \in ℝ | a < x \leq b}

[a, b [= {x \in ℝ | a \leq x < b}

] a, b [= {x \in ℝ | a < x < b}

Les intervalles de type $[a, b]$ sont dits fermés, les intervalles de type $] a, b [$ sont dits ouverts et les intervalles comme $] a, b]$ ou $[a, b [$ sont dits semi-ouverts.

Le symbole $\infty$ , qui représente l'«infini» est utile pour représenter certains intervalles. Par exemple, on note l'ensemble des nombres «supérieurs ou égals à deux»: $[2, + \infty [$ , l'ensemble des nombres strictement inférieurs à 4 est $] - \infty, 4 [$ .

On rajoute donc aux définitions faites plus haut:

[a, + \infty [= {x \in ℝ | x \geq a}

] a, + \infty [= {x \in ℝ | x > a}

] - \infty, a] = {x \in ℝ | x \leq a}

] - \infty, a [= {x \in ℝ | x < a}

Propriétés

On peut montrer que:

l'intersection de deux intervalles est encore un intervalles, par exemple $] - \infty, 10] \cap [2, 20] = [2, 20]$ ,
l'union de deux intervalles n'est pas toujours un intervalle, par exemple $[0, 1] \cup [3, 4]$ n'est pas intervalle.

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