Achille et la tortue

Énoncé

Le paradoxe est facile à énoncer. Imaginez une course que se disputent Achille et la tortue. Achille qui sait bien qu'il part avec un avantage certain sur son adversaire lui laisse une avance de 100 mètres. La course commence. Pour rattraper son retard, il parcourt les cent mètres qui le séparent de la tortue. Pendant ce temps, la tortue a elle même avancé d'une certaine distance, qu'Achille doit combler à nouveau. Une fois ce retard comblé, la tortue avance à nouveau d'une certaine distance, etc,... Achille ne rattrape donc jamais la tortue.

On va donc tenter de résoudre ce paradoxe mathématiquement. Tout d'abord, on va supposer qu'Achille parcourt le cent mètres en dix secondes, et que la tortue parcourt un mètre en une seconde:

1. Durant les dix premières secondes, Achille a parcouru 100 m et la tortue a parcouru 10 m, il est donc à 10 m de la tortue (temps écoulé: 10 s),
2. Pour parcourir cette distance, Achille met une seconde, temps pendant lequel la tortue avance d'un mètre (temps écoulés: 10+1=11 s),
3. Pour parcourir ce mètre, Achille met 0.1 s, la tortue avance donc de 10 cm (temps écoulé: 11+1/10)
4. etc...

On peut écrire alors que le temps total pour qu'Achille rejoigne la tortue est:

Cette somme comporte un nombre infini de termes: elle ne s'arrête jamais. Zénon en conclut que le résultat est alors infini: Achille ne rejoindra jamais la tortue.

Autrement dit, Il fait l'hypothèse que:

quel que soit la valeur des $a_i$: une somme est infinie dès qu'il y a un nombre infini de termes (tous positifs évidemment).

Résolution du paradoxe: première approche

Pour résoudre le problème, on peut d'abord remarquer que la somme peut s'écrire autrement: on l'écrira avec des nombres décimaux:

On voit que l'on arrive à un résultat parfaitement fini!!

Donc l'hypothèse de Zénon semble être fausse bien qu'elle est intuitive, on voit que l'on peut avoir une somme infinie de terme avec un résultat fini!

Maintenant nous allons tenter de résoudre le paradoxe. Pour cela, on va essayer déterminer en combien de temps Achille va rattraper la tortue, mais d'une tout autre manière que Zénon.

Après un certain temps $t$, Achille aura parcouru une distance $d_{ach}=v_{ach}t$ (car on a $v_{ach}=\frac{d_{ach}}{t}$ par définition de la vitesse) tandit que la tortue aura parcouru une distance $d_{tor}=v_{tor}t$ et sera donc à $d_{tor}=v_{tor}t+100$ du point de départ d'Achille.

Achille rejoindra la tortue lorsque $d_{ach}=d_{tor}$, donc on aura, d'après les équations précédentes:

Nous connaissons $v_{ach}$ et $v_{tor}$, et nous savons que:

et donc:

c'est une simple équation du premier degré en $t$ qui donne:

Dans notre cas, $v_{tor}=1m/s$ et donc $t=\frac{100}{90}=11.111...$

Intéressons nous donc cette fameuse somme de plus près...