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Suites numériques

Définissons la notion de suite

Si cette somme reste finie, c'est parce que les termes se rapprochent de plus en plus de zéro (et suffisamment vite):

10,1,110,1100,11000,...

On peut associer un nombre n à chaque terme de la suite, pour dire que le terme an est le n-ième terme de la suite (ce genre de notation a été déjà vu précédemment):

a1=10,a2=1,a3=110,....,an=110n-2

110n-2 est le n-ième terme de la suite.

Le fait que cette suite se rapproche de zéro sera discuté plus tard. Avant cela, je propose de préciser ce que l'on doit entendre par «suite». Ouvrons donc une petite parenthèse, et définir correctement la notion de suite:

Définition 1.

Une suite numérique est une fonction 0 c'est à dire qu' à chaque nombre naturel n, on fait correspondre un réel an qui est le n-ième terme de la suite. Elle est notée a1,a2,a3,... ou plus simplement:{an}n

Voici quelques exemples de suite:

  1. an=1+n ce qui donne: 2,3,4,5,....
  2. an=2n ce qui donnes: 2,4,8,16,...
  3. Suite de Fibonacci: a1=a2=1,an=an-1+an-2 ce qui donne: 1,1,2,3,5,8,13,...

On peut aussi définir deux ou trois choses simples sur les suites:

  1. Une suite {an}n est croissante si l'on a: n:anan+1 et strictement croissante si n:an<an+1
  2. Une suite {an}n est décroissante si l'on a: n:anan+1 et strictement décroissante si n:an>an+1
  3. On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante, et qu'elle est strictement monotone si elle strictement (dé)croissante.
  4. Une suite est bornée supérieurement si on peut trouver un réel α tel que n:anα
  5. Une suite est bornée inférieurement si on peut trouver un réel α tel que n:anα
  6. Enfin, une suite est bornée si elle est à la fois bornée supérieurement et inférieurement.

Exemples:

  1. La suite de Fibonacci est croissante, donc monotone, elle est bornée inférieurement.
  2. La suite 1,-1,1,-1,1,-1,... n'est pas monotone, elle est bornée.
  3. La suite an=5-1n est croissante et bornée.

Introduction au concept de limite

Nous avions dit que la suite qui nous préoccupait se rapproche de zéro. Notons au passage qu'elle est strictement décroissante et bornée. Mais ce qui nous intéresse surtout dans le fait qu'elle soit bornée; c'est qu'elle est bornée inférieurement. Pourtant, elle est décroissante, mais elle ne ne va jamais en dessous (ni n'atteint!) une certaine valeur: zéro.

En supposant n ÉNORMÉMENT GRAND, an sera TRÈS PROCHE de zéro. Pourtant, il ne l'atteindra jamais, zéro sera une limite.

Et on ne peut pas prendre 0.00000000001 comme limite, ni même 10-1000 car on pourra toujours trouver un nombre n assez grand, tel que an soit plus proche de zéro que cette limite (qui du coup n'en n'est pas vraiment une).

On dira donc, que lorsque n tend vers l'infini, an tend vers zéro, et on notera:

limn+an=0

On peut trouver d'autre suites intéressantes. Par exemple, pour la suite an=1-1n la suite est croissante et tend vers 1:

0,12,23,34,56,...

et on peut donc écrire:

limn+an=1

Imaginons une suite qui tende vers un nombre a. Prenons un terme an tel que n soit très très grand (mais vraiment très!). Cela veut dire que la «distance» entre an et a est TRÈS petite (presque nulle):

|an-a|<ε

Ou:

ε>0

et ce fameux ε est choisi TRÈS petit pour montrer que cette distance entre entre an et a est vraiment infime.

On peut aussi prendre un autre nombre an, mais ou cette fois n est encore plus grand, et choisir un ε encore plus petit et ainsi de suite mais ça ne servira à rien et cela va nous mener loin!

Pourtant l'idée d' écrire:

|an-a|<ε

avec:

ε>0

pour montrer que a est la limite de la suite ne semble pas mauvaise mais il faut améliorer. Comment? On ne peut pas examiner chaque an séparément et trouver à chaque fois un ε adéquat. Pourtant, on peut le faire implicitement à l'aide du quantificateur universel! Ça donne:

Définition 2.

Une suite numérique {an}n admet une limite a si:

ε>0,δ:n>δ|an-a|<ε

Explications: On commence par dire que l'on peut prendre n'importe quel ε>0 (sous entendu: aussi petit soit-il), et dire qu' il existe un nombre (représenté par la lettre grecque δ) tel que si on prend un nombre n plus grand que δ, la distance entre an et a est plus petite que ε.

Prenons, par exemple, la suite an=1n ( qui admet 0 comme limite) et commençons par choisir un nombre ε positif (assez petit), disons, 1100. Puis, examinons l'un après l'autre les termes de la suite. Au bout d'un certains temps, on arrive au terme a100=1100. On va donc prendre δ=100. Si on choisit un nombre n tel que n>δ, on est sur que:

|an-a|<ε

Par exemple, si on choisit n=200, on a an=1200 et on voit bien que:

|1200-0|<1100

Cette définition veut simplement dire que passé un certain cap (aδ), tout les termes de la suite sont plus proches de a que d'une certaine valeur fixé au départ (ε). Comme ε est aussi petit que l'on veut, on fait se rapprocher les termes de a d'aussi près que l'on veut. La suite devient très proche de sa limite, pour de très grandes valeurs de n.