Fonctions numériques

Introduction

La notion de fonction a déjà été vue de manière assez théorique dans le cours de théorie des ensembles. On avait alors introduit le concept de «graphe» comme un ensemble de couples. Dans la pratique, il est commode de représenter ces couples de manière géométrique.

Prenons un exemple: une fonction de $ℝ$ vers $ℝ$ défini comme suit: $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$ . On peut représenter le graphe de la fonction dans un système d'axe:

Chaque point de la courbe a deux coordonnées qui sont les couples du graphe.

Le graphique d'une fonction permet d'observer directement ses propriétés. Nous allons maintenant définir quelques notions supplémentaires par rapport à ces fonctions numériques:

Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si:
$\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} ⩽ x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) ⩽ f (x_{2})$
Une fonction est décroissante sur un intervalle $(a, b)$ si:
$\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} ⩽ x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) ⩾ f (x_{2})$
Une fonction est monotone si elle est croissante ou décroissante
Les termes strictement (dé)croissante et strictement monotone, s'appliquent lorsque les inégalités sont strictes (comme pour les suites).

Fonctions continues

Nous allons commencer par définir de manière formelle une fonction continue. Si vous ne comprenez pas la définition du premier coup il ne faut pas s'inquiéter: elle n'est pas très évidente mais j'expliquerai cette définition juste après.

Définition 3.

Une fonction $f : I \to ℝ$ est continue en $x_{0} \in I$ si:

\forall ε > 0, \exists η > 0 : \forall x \in I, | x - x_{0} | < η \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε

On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue à chaque point de cet intervalle.

On commence par dire que l'on peut prendre n'importe quel $ε > 0$ (sous entendu: aussi petit soit-il), et qu'il existe un nombre $η$ (pour cette valeur de $ε$ ), tel que ( $x$ appartenant à $I$ ), si la «distance» entre $x$ et $x_{0}$ est plus petite que $η$ , alors la «distance» entre $f (x)$ et $f (x_{0})$ est plus petite que $ε$ :

Pour bien montrer ce que cela veut dire, il suffit de voir une fonction non continue:

La fonction est ici tracée en bleu pour plus de lisibilité.

On voit bien que la fonction n'est pas continue en $x_{0}$ : une fois avoir choisi un $ε$ positif, quelque soit le nombre $η$ que l'on prend, certaine images se seront pas dans l'intervalle $] f (x_{0}) - ε, f (x_{0}) + ε [$ . Dans le schéma, un tel nombre $x$ est en évidence, ainsi que son image (en rouge). Même si on choisissait un autre $η$ plus petit, on arriverai toujours à avoir des images qui «sortent» de l'intervalle $] f (x_{0}) - ε, f (x_{0}) + ε [$ : la fonction n'est pas continue.

On peut définir très simplement la continuité d'une fonction sur un intervalle: une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue à chaque point de cet intervalle.

Si vous avez bien compris la définition d'une fonction continue, vous pouvez facilement comprendre qu'il est facile de savoir si une fonction est continue ou pas rien qu'en regardant son graphe: une fonction est continue si on peut la tracer sans «lever le crayon».

On peut trouver facilement des exemples de fonctions non continues: $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$ ou encore $f (x) = \frac{1}{x}$ ne sont pas continues sur $ℝ$ .

Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ , alors (sur l'intervalle $I$ ):

$f + g$ est continue,
$f \cdot g$ est continue,
$\frac{f}{g}$ est continue (à condition que $\forall x \in I, g (x) \neq 0$ ).

Limites de fonction

A partir de la définition de la continuité, on peut facilement étendre le concept de limite de suite pour le cas des fonctions. On a la définition suivante:

Définition 4.

Définition: Une fonction $f : I \to ℝ$ a pour limite $L$ au point $x_{0} \in I$ si:

\forall ε > 0, \exists η > 0 : \forall x \in I, | x - x_{0} | < η \Rightarrow | f (x) - L | < ε

et on écrit:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = L

Cela veut dire que si $x$ se rapproche de $x_{0}$ (on a en effet $| x - x_{0} | < η$ ), alors $f (x)$ se rapproche de $L$ ( $| f (x) - L | < ε$ ).

On va prendre un exemple numérique comme nous l'avions fait avec les suites. Prenons par exemple, $f (x) = \frac{x}{2}$ pour faire simple. On choisit un epsilon assez petit, disons $ε = \frac{1}{100}$ . Supposons que nous voulions calculer la limite en $2$ . Il faut choisir un $η$ adéquat pour que:

| x - x_{0} | < η \Rightarrow | f (x) - L | < ε

dans notre cas:

| x - 2 | < η \Rightarrow | f (x) - L | < \frac{1}{100}

et comme $f (x) = \frac{x}{2}$ :

| x - 2 | < η \Rightarrow | \frac{x}{2} - L | < \frac{1}{100}

donc:

x - η < 2 < x + η \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{1}{100} < L < \frac{x}{2} + \frac{1}{100}

on multiplie par $2$ la deuxième inégalité pour pouvoir «comparer» les deux inégalité:

x - η < 2 < x + η \Rightarrow x - \frac{1}{50} < 2 \cdot L < x + \frac{1}{50}

on peut donc prendre $η = \frac{1}{50}$ :

x - \frac{1}{50} < 2 < x + \frac{1}{50} \Rightarrow x - \frac{1}{50} < 2 \cdot L < x + \frac{1}{50}

et en comparant les deux inégalités, on conclut que $L = 1$ :

lim_{x \to 2} \frac{x}{2} = 1

Je vous entend déjà dire: mais en fait c'est facile de calculer une limite: $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ! Eh bien non! Ceci n'est valable que si la fonction est continue en $a$ . Mais si la fonction n'est pas continu en $a$ , il peut quand même y avoir une limite (dans certains cas). Par exemple: $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ n'est pas continue en $1$ (forcément, il n'y a même pas d'image en $1$ ) et pourtant la limite existe: $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ . On a parfaitement le droit de simplifier par $x - 1$ ici car $x$ n'est pas égal à $1$ mais on fait tendre $x$ vers $1$ .

Tout comme nous avons définit la notion de limite d'une suite, nous allons maintenant définir la notion de limite d'une fonction en un point. On peut se baser sur la notion de limite d'une suite. En effet, considérons une suite de nombres que l'on va noter $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . .$ , et imaginons que cette suite tende vers un nombre $a$ :

lim_{n \to + \infty} x_{n} = a

L'idée est de se demander si la suite de nombres $f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3}), . . .$ converge vers une certaine limite. Supposons que cette suite tende vers $L$ , on note alors:

lim_{x \to a} f (x) = L

et on dit que « $f (x)$ tend vers $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ ». Notez que c'est juste une nouvelle notation pour écrire:

lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = L

On peut assez facilement comprendre (et le montrer mathématiquement) que si la fonction est continue:

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

On pourrait croire naïvement que cette dernière égalité est toujours vraie. Pour montrer que ce n'est pas le cas, considérons la fonction:

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

Et cherchons sa limite en $1$ . On sait déjà que cette limite ne peux pas être $f (1)$ , puisque $f (1)$ n'est pas défini (division par zéro). Alors cette limite existe t-elle? Oui, et on peut le voir de la manière suivante. En sachant que $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ :

lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} x + 1 = 2

Peut-être pensez vous que cela est faux puisque l'on divise par $(x - 1)$ qui vaut zéro si $x = 1$ . Mais souvenez vous que par définition:

lim_{x \to 1} f (x) = lim_{n \to + \infty} f (x_{n})

Avec $lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ . On peut choisir par exemple la suite $x_{n}$ tel que $x_{0} = 0.9$ , $x_{1} = 0.99$ , $x_{2} = 0.999$ ... On voit bien que cette suite tend vers $1$ . En fait lorsque l'on calcule:

lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}

c'est équivalent à calculer:

lim_{n \to + \infty} \frac{(x_{n} + 1) (x_{n} - 1)}{x_{n} - 1}

Or, quel que soit le $x_{n}$ de la suite définie plus haut, $x_{n} \neq 1$ et donc $x_{n} - 1 \neq 0$ . Il n'y a donc pas de division par zéro.

Nous allons maintenant voir une application pratique de cette notion.

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