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Formules de dérivation

On a vu la formule: f(x)=limΔx0f(x+Δx)-f(x)Δx qui permet de calculer la dérivée d'une fonction. En pratique, on ne l'utilise jamais, on utilise des formules que nous allons maintenant établir.

Dérivée d'une somme

Théorème 1.

Soit f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables, alors f+g:[a,b] est dérivable et:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Démonstration:

Soit donc f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables. On doit dériver f+g, donc:

(f+g)(x)=limh0(f+g)(x+h)-(f+g)(x)h=limh0f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)h=limh0f(x+h)-f(x)h+limh0g(x+h)-g(x)h=f(x)+g(x)

Dérivée d'un produit

Théorème 2.

Soit f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables, alors fg:[a,b] est dérivable et:

(fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)

Démonstration:

Soit donc f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables. On doit dériver fg, donc:

(fg)(x)=limh0(fg)(x+h)-(fg)(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)h

On rajoute le terme -f(x)g(x+h) pour faire apparaître la dérivée de f:

(fg)(x)=limh0f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)h=limh0f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)h=limh0[g(x+h)f(x+h)-f(x)h+f(x)g(x+h)-g(x)h]=limh0(g(x+h)f(x)+f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)

Dérivée d'un quotient

Théorème 3.

Théorème: soit f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables telle que la fonction g ne s'annule jamais, alors f/g:[a,b] est dérivable et:

(fg)(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)(g(x))2

Démonstration:

On doit d'abord montrer que (1g)(x)=-g(x)(g(x))2:

(1g)(x)=limh01g(x+h)-1g(x)h=limh0g(x)g(x)g(x+h)-g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh0g(x)-g(x+h)hg(x)g(x+h)=limh0-(g(x+h)-g(x))h1g(x)g(x+h)=limh0-g(x)g(x)g(x+h)=-g(x)(g(x))2

On a donc:

(fg)(x)=(f1g)(x)=f(x)1g(x)+f(x)-g(x)(g(x))2=f(x)g(x)g(x)g(x)-f(x)g(x)(g(x))2=f(x)g(x)-f(x)g(x)(g(x))2

On utilise à la deuxième ligne la formule de la dérivée d'un produit.

Dérivée d'une fonction composée

Théorème 4.

Soit f:[a,b] et g:[a,b] deux fonctions dérivables, alors gf:[a,b] est dérivable et:

(gf)(x)=g(f(x))f(x)

Démonstration:

(gf)(x)=limh0(gf)(x+h)-(gf)(x)h=limh0[g(f(x+h))-g(f(x))f(x+h)-f(x)f(x+h)-f(x)h]=limh0g(f(x+h))-g(f(x))f(x+h)-f(x)limh0f(x+h)-f(x)h=limh0g(f(x)+f(x+h)-f(x))-g(f(x))f(x+h)-f(x)f(x)

Posons maintenant: α=f(x+h)-f(x), on a: limh0α=limh0(f(x+h)-f(x))=0:

(gf)(x)=limα0g(f(x)+α)-g(f(x))αf(x)=g(f(x))f(x)