Formules de dérivation
On a vu la formule: qui permet de calculer la dérivée d'une fonction. En pratique, on ne l'utilise jamais, on utilise des formules que nous allons maintenant établir.
Dérivée d'une somme
Théorème 1.
Soit et deux fonctions dérivables, alors est dérivable et:
Démonstration:
Soit donc et deux fonctions dérivables. On doit dériver , donc:
Dérivée d'un produit
Théorème 2.
Soit et deux fonctions dérivables, alors est dérivable et:
Démonstration:
Soit donc et deux fonctions dérivables. On doit dériver , donc:
On rajoute le terme pour faire apparaître la dérivée de :
Dérivée d'un quotient
Théorème 3.
Théorème: soit et deux fonctions dérivables telle que la fonction ne s'annule jamais, alors est dérivable et:
Démonstration:
On doit d'abord montrer que :
On a donc:
On utilise à la deuxième ligne la formule de la dérivée d'un produit.
Dérivée d'une fonction composée
Théorème 4.
Soit et deux fonctions dérivables, alors est dérivable et:
Démonstration:
Posons maintenant: , on a: :