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Dérivées usuelles

Pour pouvoir calculer une dérivée, on utilise en pratique les formules que nous venons de voir, plus une série de dérivées «connues» à retenir par cœur.

La fonction constante: f(x)=k:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0k-kh=0

La fonction identité: f(x)=x:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0x+h-xh=limh0hh=1

La fonction f(x)=x2:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0(x+h)2-x2h=limh0x2+2xh+h2-x2h=limh02xh+h2h=limh0(2x+h)=2x

La fonction f(x)=x:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0x+h-xh=limh0(x+h-x)(x+h+x)h(x+h+x)=limh0x+h-xh(x+h+x)=limh01x+h+x=12x

Remarquez qu'on a utilisé (a-b)(a+b)=a2-b2.

La fonction 1x:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh01x+h-1xh=limh0x-(x+h)x(x+h)h=limh0-hhx(x+h)=limh0-1x(x+h)=-1x2

Les fonctions du type f(x)=xn avec n:

On va montrer que f(x)=nxn-1. On sait déjà que c'est vrai pour n=0: (x0)=k=0, pour n=1: (x1)=x=1x0=x et pour n=2: (x2)=2x1=2x. Pour x=3 et x=4:

(x3)=(x2x)=2xx+x2=3x2 (x4)=(x3x)=3x2x+x3=4x3

On peut continuer ainsi encore très longtemps, mais on peut remarquer que si on sait que (xn)=nxn-1 pour un certains n, alors on peut prouver la même formule pour n+1 c'est à dire (xn+1)=(n+1)xn. En effet:

(xn+1)=(xnx)=nxn-1x+xn=nxn+xn=(n+1)xn

Et on prouve ainsi implicitement la formule pour tout n, car on sait que c'est vrai pour n=4 donc c'est vrai pour n=5, et donc pour n=6, ... C'est un raisonnement par récurrence.

La fonction f(x)=sinx:

f(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0sin(x+h)-sinxh=limh02sinx+h-x2cosx+h+x2h=limh02sinh2hlimh0cos2x+h2=limh0sinh2h2cosx=cosx

On utilise la formule sinp-sinq=2sinp-q2cosp+q2 pour passe de la deuxième à la troisième ligne, et la formule limx0sin(x)x=1 à la fin.

La fonction f(x)=cos(x):

f(x)=[sin(π2-x)]=cos(π2-x)(π2-x)=cos(π2-x)(-1)=-sin(x)

On utilise cosx=sin(π2-x) et sinx=cos(π2-x).

La fonction f(x)=tan(x):

(tan(x))=(sinxcosx)=cosxcosx-(-sinx)sinxcos2x=1cos2x

En résumé:

k=0(xn)=nxn-1x=1(sinx)=cosx(x2)=2x(cosx)=-sinxx=12x(tanx)=1cos2x(1x)=-1x2