Théorème des valeurs intermédiaires

Introduction

Nous allons maintenant énoncer une série de théorèmes important en analyse. Le premier de ces théorèmes est vraiment très simple à énoncer. On considère une fonction continue quelconque, sur un intervalle $[a,b]$:

On regarde les points images $f(a)$ et $f(b)$ sur l'axe $y$. Entre ces deux points, on en choisit un, n'importe lequel, appelons-le $x$. Alors, le théorème dit qu'il est possible de trouver un point $c$ entre $a$ et $b$, tel que $x=f(c)$.

On peut en donner une illustration simple. Supposons que nous nous tenions au pied d'une montagne, à une altitude de cent mètres au dessus du niveau de la mer. Le sommet de la montagne se trouve lui à mille mètres au dessus du niveau de la mer. On emprunte un chemin qui nous emmène au sommet, et disons qu'il faille douze kilomètres pour y arriver. On peut définir la fonction «altitude» (qu'on va noter simplement $f$) qui donne l'altitude en fonction de la distance parcourue. En prenant la convention d'être à zéro au pied de la montagne:

et:

en exprimant tout en kilomètres. Le théorème nous dit donc, que pour n'importe quel altitude $z$ comprise entre 0.1 et 1 km au dessus du niveau de la mer, correspond au moins un point sur le chemin situé à cette altitude. C'est tout à fait logique: on passe par toutes les altitudes intermédiaires (d'où le nom du théorème).

Énoncé

Notez que l'on s'assure que de traiter les cas $f(a)⩽f(b)$ et $f(a)⩾f(b)$ gràce à l'utilisation du «ou» logique (symbole «$\vee$»).

Démonstration

Nous allons tout d'abord poser que $f(a)⩽f(b)$, le cas contraire se démontrant de manière similaire. On considère le sous-ensemble $E$ de $[a,b]$, des éléments $x$ tel que $f(x)⩽u$ ($u$ étant compris entre $f(a)$ et $f(b)$). On pose encore $c=supE$. On peut montrer qu'il est possible de trouver une suite d'éléments de $E$ tendant vers $c$ (cette démonstration n'est pas encore sur Freesciences). Pour chaque élément $x_i$ de cette suite, on a $f(x_i)⩽u$ (par définition de $E$); en passant à la limite, on a donc $f(c)⩽u$.

On peut maintenant prouver $f(c)⩾u$, on aura donc $f(c)=u$ et le théorème sera démontré. Si $c=b$, c'est vrai car $u$ a été choisi tel $f(b)⩾u$. Si $c\ne b$, on considère l'intervalle semi-ouvert $]c,b]$. Ses éléments vérifient $f(x)>u$, puisqu'ils n'appartiennent pas à $E$, étant strictement supérieurs à sa borne supérieure. Comme précédemment, $c$ étant l'infimum de l'intervalle, il est limite d'une suite d'éléments de cet intervalle, par passage à la limite, on a $f(c)⩾u$.

Analyse et conséquences

Un cas particuliers de ce théorème est fort utile en analyse. Il suffit de considérer le cas où $f(a)<0$ et $f(b)>0$ (ou le cas contraire, l'important est le changement de signe). Dans ce cas, zéro est entre les images de $a$ et de $b$, et le théorème nous dit qu'il existe un certain $x$ entre $a$ et $b$ tel que $f(x)=0$. Ceci est donc utile lorsque l'on veut prouver qu'il existe une racine dans un certain intervalle.

Arrêtons nous un instant sur ce point. Tout ce que nous avons dit c'est «une fonction continue qui change de signe sur un certain intervalle, s'annule au moins une fois quelque part sur cette intervalle». Avec un simple dessin et quelque explications, il est sans doute possible de faire comprendre cela à un enfant de dix ans. Ce qu'il ne comprendra sans doute pas, c'est plutôt: pour pourquoi vouloir prouver une chose pareille ?

Les mathématiques sont remplies de démonstrations «inutiles». Si vous avez lu le chapitre sur les nombres, vous avez pu très bien vous en rendre compte. Mais encore une fois, prouvez ce qui est «évident» est une nécessité. C'est la seule manière de s'assurer une rigueur absolue.