Le boson de Higgs

Nouveau dossier sur FreeSciences consacré au boson de Higgs.

Ce document s'adresse aux personnes qui veulent comprendre ce qu'est le boson de Higgs sans entrer dans les détails les plus complexes mais sans non plus se contenter d'une simple vulgarisation. Tout ce qu'il faut au préalable pour comprendre ce qui va suivre, c'est un niveau élémentaire en mathématique (dérivées, intégrales, nombres complexes, ...) et une connaissance basique de la relativité restreinte est préférable.

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Une démonstration simple de la loi des gaz parfaits

Nous savons que tout ce qui nous entoure est fait d'atomes (ou de molécules).  Mais si cela nous semble aujourd'hui évident, cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu dès l'Antiquité, des débats passionnés sur la structure de la matière: la matière est-elle continue ou discontinue? Si l'idée d'atome est très ancienne (elle remonte à Leucippe né en 460 avant J.C.) elle n'eut que très peu de succès avant de resurgir avec les travaux de John Dalton en 1808, où la théorie atomique devient scientifique et convainc peu à peu toute la communauté scientifique. Il faut cependant attendre le début du vingtième siècle pour que cette théorie soit solidement établie.

Il y a quelque chose de tout à fait remarquable à propos de la théorie atomique. Comment, au début du dix-neuvième siècle, pouvait-on en arriver à une conclusion aussi remarquable avec les moyens de l'époque? Il existe plusieurs réponses à cela, mais ce qui va nous intéresser ici, c'est le comportement des gaz.

Attention!! Les calculs qui suivent sont volontairement simplifiés, il est donc normal que ces calculs ne soient pas très rigoureux.

Intuitivement, on peut voir un gaz comme un ensemble de particules (atomes ou molécules par exemple) qui interagissent très peu entre-elles. On va dire, pour simplifier, que l'on néglige totalement toutes les interactions entre les particules du gaz: elles se croisent «sans se voir». Si on enferme un gaz dans une cavité, il faut quand même tenir compte de l'interaction entre les particules du gaz et la paroi de la cavité. Les particules du gaz sont en mouvement permanent, quand elles rencontrent une paroi, il y des chocs et donc une certaine pression. La pression d'un gaz est donc le résultat de chocs des particules du gaz sur les parois.

Que peut-on dire sur la vitesse des particules du gaz? Une particule de gaz de masse m et de vitesse v,  possède une énergie cinétique donnée par:

E = \frac 12 mv^2

Étant donné le très grand nombre de particules dans un gaz, on ne peut pas prendre note de l'énergie cinétique de chaque particules séparément. On va donc s'intéresser à leur énergie cinétique moyenne que l'on va noter \langle E \rangle. On a bien sûr: \langle E \rangle = \frac 12 m\langle v^2\rangle. Attention que \langle v^2\rangle \neq \langle v\rangle^2, c'est à dire que la moyenne des carrés n'est pas égale au carré de la moyenne.

Peut-on relier cette énergie moyenne à une quantité mesurable? La réponse est oui, elle est liée à la température T. On a en fait:

\frac 32 k_B T = \langle E \rangle

k_B est une constante, appelée constante de Boltzmann, et qui vaut 1.38 \times 10^{-23} joules par kelvin. Discuter de la signification précise de cette constante nous entraînerait trop loin, ce qui est important ici c'est que la température est une mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules du gaz.

Supposons donc un gaz enfermé dans un certain volume V. La pression du gaz est supposé constante sur toute la surface de la cavité. Choisissons une petite surface A sur la cavité où l'on va mesure la pression. Si F est la force exercée par le gaz sur la surface A, on a:

P = \frac FA

Considérons donc une particule k qui frappe la surface A. Mettons l'axe z perpendiculaire à la surface (l'axe z est horizontal sur la figure qui suit), si on note v_z la composante suivant z de la vitesse de la particule, alors elle transmet une quantité de mouvement:

\Delta p_k = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z

car elle arrive et repart avec la même vitesse. La force est la variation de la quantité de mouvement par rapport au temps, donc:

F_k = \frac{\Delta p_k}{\Delta t} = 2m \frac{\Delta v_z}{\Delta t}

choc d'une particule sur la paroi

Qu'est ce que \Delta t? Si on modélise l'interaction comme un choc instantané, alors \Delta t ne peut pas être le temps réél d'interaction (qui serait infiniment court). Mais il est possible de contourner le problème. On peut très bien choisir un certain \Delta t (arbitraire), et calculer la force moyenne 2m\Delta v_z / \Delta t sur ce temps (c'est ce que l'on veut faire de toute façon: une moyenne). Ce temps, on le considère conventionnement comme le temps d'interaction. À ce temps correspond une distance d'interaction, qui est la distance la plus grande à laquelle se trouve la particule de la paroi pendant le temps d'interaction. La distance totale parcourue (i.e. aller et retour) est alors de v_z\Delta t, la distance maximale à la paroi (distance d'interaction) est donc la moitié soit \frac{v_z\Delta t}2. Cela correspond à un volume d'interaction:

\Delta V = A \frac{v_z\Delta t}2

et donc:

\Delta t = \frac{2 \Delta V}{Av_z}

Et la force exercée par la particule k est alors:

F_k = \frac{Am v_z^2}{\Delta V}

Pendant le temps \Delta t, il y a un certains nombre \Delta N de particules qui interagissent avec la paroi et non une seule. La pression est donc la somme des F_k divisée par la surface A:

P = \frac{\sum_k F_k}{A} = \frac{m}{\Delta V} \sum_k v_{kz}^2 \approx \frac{m \Delta N \langle v_z^2\rangle}{\Delta V}

en notant cette fois v_{kz} la composante z de la vitesse de la particule k, et en utilisant:

\langle v_z^2\rangle \approx \frac{\sum_k v_{kz}^2}{\Delta N}

Enfin, on doit avoir, puisqu'il n'y a pas de direction privilégiée:

\langle v^2\rangle =\langle v_x^2\rangle + \langle v_y^2\rangle + \langle v_z^2\rangle = 3\langle v_z^2\rangle

On a donc, en introduisant aussi l'énergie cinétique moyenne, et utilisant la formule qui lie température et énergie cinétique moyenne:

P = \frac{2 \langle E\rangle \Delta N}{ 3\Delta V} = \frac{\Delta N}{\Delta V} k_B T \approx \frac{N k_b T}{V}

où l'on a utilisé le fait que la densité est constante:

\rho = \frac NV \approx \frac{\Delta N}{\Delta V}

On peut encore poser R = \mathcal{N_A k_B}\mathcal{N_A} est le nombre d'Avogadro (6 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}) pour travailler en moles (avec n = N/\mathcal{N_A}), on a alors:

PV = nRT

Ceci illustre toute la puissance de l'hypothèse atomique. L'équation que l'on vient de montrer est l'équation des gaz parfaits. On parle de gaz parfait, car contrairement aux gaz rééls, on a supposé qu'il n'y avait aucune interactions entre les particules. L'équation des gaz parfaits se vérifie donc bien à faible densité, plus la densité est grande, plus cette équation est imprécise. Ceci constitue donc une confirmation expérimentale éclatante de la théorie atomique.