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Cinématique

Notion de référentiel

Il est évident que la notion d'observateur est très importante en physique. Pour faire de la physique, il faut évidemment faire des mesures, et pour qu'une mesure ait un sens, il faut soit que tout les observateurs s'accordent sur cette mesure (ou au moins une classe particulière d'observateurs «privilégiés»), ou du moins que l'on puisse toujours contextualiser la mesure.

Précisons cette idée. Deux personnes différentes observant un même phénomène naturel peuvent avoir des visions tout à fait différentes. Un exemple simple: on sait tous (ou presque) que la terre tourne autour du soleil. Mais si ceci est vrai en particuliers pour un observateur immobile par rapport au soleil, pour un observateur terrestre, le soleil tourne autour de la terre. Il faut donc préciser ce que cela veut dire: «la terre tourne autour du soleil», est-ce une simple question de perspective ou y a t-il quelque de plus profond derrière? On reviendra sur ce genre de questionnement en abordant la relativité de Galilée.

Il existe une notion plus précise et plus commode que la notion un peu vague d'«observateur»: c'est la notion de référentiel. On peut définir un référentiel en faisant appel explicitement à un système de coordonnée précis, mais ce n'est pas obligatoire. Ici, on va faire une distinction: ainsi on va dire par exemple que deux observateurs immobiles l'un par rapport à l'autre sont dans le même référentiel, mais bien sûr ils sont libre d'utiliser chacun le système de coordonnées de leur choix.

Un référentiel est donc un cadre particuliers dans lequel on va faire des mesures. Pour cela, on va attacher au référentiel un ou plusieurs systèmes de coordonnée dans le but de mesurer les positions, vitesses, ... des différents mobiles étudiés. On peut utiliser le type de système de coordonnée que l'on souhaite: cartésiens, sphériques, cylindrique, ... Un système de coordonnées spatiales n'est pas suffisant: il faut de plus pouvoir mesurer le temps, intuitivement on pourrait dire que l'on attache au référentiel une horloge. En mécanique newtonienne, toutes les horloges (supposées infiniment précises!) de tout les référentiels sont parfaitement synchronisées. Une conséquence particulière est que la simultanéité est absolu: deux événements simultanés dans un référentiel le sont dans tout les autres référentiels.

Cette façon de présenter les choses n'est cependant pas satisfaisante. En fait, si l'on veut être précis et pouvoir garder la même définition dans le cadre de la relativité restreinte, il nous faut une infinité d'horloge, une en chaque point de l'espace. Elles sont toutes immobiles et synchronisées les unes par rapport aux autres. Si donc un évènement survient en un certain point de l'espace, on note le temps correspondant en regardant le temps indiqué par l'horloge en ce point. Bien sûr c'est une vue de l'esprit, on ne pas réellement couvrir tout l'espace d'horloges.

On peut prendre les mêmes précautions pour les mesures spatiales. On va imaginer que l'on peut repérer les positions des horloges par des règles (et éventuellement pouvoir aussi mesurer des angles) de manière à étiqueter chaque horloges par ses coordonnées. Ce qui permet, pour n'importe quel évènement, de simplement lire sa position dans l'espace, en regardant l'étiquetage de l'horloge en ce point.

Pour connaître la trajectoire d'un corps, il faut déterminer quel est sa position au cours du temps. Pour repérer la position d'un point, il suffit de donner ses coordonnées par rapport au système de coordonnée du référentiel. Pour un objet étendu c'est plus compliqué: il est constitué de plusieurs points et il peut tourner sur lui-même pendant son déplacement! Voila pourquoi on va commencer par étudier des objets (imaginaires) qui sont de simple points, c'est à dire des objet ponctuel.

Notion de trajectoire

Considérons un mobile en mouvement pendant un certain intervalle de temps (qui peut être infini). L'ensemble des positions successives du mobile est appelé le support de la trajectoire. Il ne faut pas confondre cette notion avec celle de trajectoire: la donnée du support de la trajectoire ne dit pas ou se trouve le mobile à un certains temps donné contrairement la trajectoire.

Supposons que l'on ait un repère (O,i,j,k). On repère la position d'un point P:

OP=xi+yj+zk

x,y,z sont les coordonnées du point P. Si ces coordonnées évoluent au cours du temps et que X(t),Y(t),Z(t) sont les coordonnées du point en fonction du temps on peut écrire:

OP(t)=X(t)i+Y(t)j+Z(t)k

Ce qui définit une fonction f tel que OP(t)=f(t) donc la position du mobile en fonction du temps: c'est la trajectoire du mobile.

Vitesse

Nous allons maintenant définir la vitesse d'un mobile: c'est tout simplement la distance parcourue par unité de temps donc:v=ΔsΔtΔs représente la distance parcourue par le mobile sur le support de la trajectoire pendant le temps Δt. Il s'agit évidemment là de la vitesse moyenne calculé sur le temps Δt. Cependant, dans le cas de mobile ayant une vitesse variant à chaque instant, la notion de vitesse instantanée est très utile, pour définir la vitesse instantanée, on passe à la limite de Δt tendant vers zéro (on définit la fonction S comme donnant la position sur la courbe en fonction du temps: s=S(t)):

v(t)=limΔt0ΔsΔt=limΔt0S(t+Δt)-S(t)Δt=dS(t)dt

On peut de plus définir le vecteur vitesse du mobile. En un point du support de la trajectoire, le vecteur vitesse a pour norme la vitesse (comme définit ci dessus) et est tangeant au support. De plus, le sens du vecteur est le sens de déplacement du mobile. Considérons le vecteur position OP du mobile, à l'instant t et t+Δt (c'est à dire les vecteurs OP(t) et OP(t+Δt)):

Le point P(t) est à la position S(t) sur la courbe et le point P(t+Δt) est à la position S(t+Δt). Si on fait tendre Δt vers zéro, le vecteur P(t)P(t+Δt) devient tangeant à la courbe et sa norme tend à être égale à S(t+Δt)-S(t)=dS(t). Si on divise ce vecteur par Δt, sa norme lorsque Δt tend vers zéro devient donc dS(t)dt c'est à dire la vitesse.

On a donc que le vecteur vitesse est:

v(t)=limΔt0OP(t+Δt)-OP(t)Δt=dOP(t)dt

Accélération

L'accélération est simplement l'accroissement de la vitesse par unité de temps: a=ΔvΔt. Comme pour la vitesse on défini l'accélération instantanée:

a(t)=limΔt0ΔvΔt=limΔt0v(t+Δt)-v(t)Δt=dvdt=d(dS(t)dt)dt=d2S(t)dt2

On définit de même le vecteur accélération, et on dérive simplement le vecteur vitesse:

a(t)=limΔt0Δv(t)Δt=limΔt0v(t+Δt)-v(t)Δt=dv(t)dt=d(dOP(t)dt)dt=d2OP(t)dt2

Mouvements simples

Mouvements rectilignes uniformes

Un mouvement rectiligne uniforme est un mouvement dans lequel la vitesse est constante, le mobile se dirigeant en ligne droite. On peut choisir un repère cartésien dans lequel le mouvement du mobile se fait le long de l'axe x par exemple: ainsi on ne se préoccupe que d'une seule coordonnée spatiale. Nous allons établir la trajectoire du mobile, c'est à dire connaître la fonction X tel que x=X(t).

On connaît la fonction V donnant la vitesse en fonction du temps: V(t)=v tout simplement (vitesse constante). On sait que V(t)=dS(t)dt=dxdt donc que v=dxdt, c'est à dire que dx=vdt. On intègre cette relation:

x-x0=t0tvdτ=vt0tdτ=v(t-t0)

Et donc:

x=v(t-t0)+x0

Dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, le graphique de la position en fonction du temps est donc une droite.

Mouvements rectilignes uniformément accélérés

Un mouvement rectiligne uniformément accéléré est un mouvement dans lequel la vitesse est constante, le mobile se dirigeant en ligne droite. On choisit encore une fois le repère de manière à n'avoir qu'une coordonnée spatiale et on cherche encore la trajectoire.

En notant a l'accélération, on a va vitesse en fonction du temps:

v=a(t-t0)+v0

v0 est la vitesse «au départ», c'est à dire au temps t0. De même, la position en fonction du temps est donnée par la formule:

x=12at2+v0t+x0

On connaît la fonction φ donnant l'accélération en fonction du temps: φ(t)=a. Sachant que φ(t)=dvdt donc que a=dvdt et dv=adt ce qui donne:

v=t0tadτ+v0=a(t-t0)+v0

Posons t0=0 pour simplifier. On a: v=at+v0. Ce qui donne dxdt=at+v0, c'est à dire dx=[at+v0]dt et on intègre:

x=0t[aτ+v0]dτ+x0=12at2+v0t+x0

Dans le cas du mouvement rectiligne uniformément accéléré, le graphe de la position en fonction du temps est donc une parabole.