Conservation de la quantité de mouvement

Supposons un grand nombre $N$ de particules, ayant des quantités de mouvement ${\vec{p}}_{i}$ . On va définir la quantité de mouvement totale du système, comme la somme vectorielle des quantités de mouvement de toute les particules:

{\vec{P}}_{T O T} = \sum_{i = 1}^{N} {\vec{p}}_{i}

On a alors le théorème suivant:

Théorème 1.

La quantité de mouvement totale d'un système isolé est constante au cours du temps.

Par «isolé», on entend par là qu'il n'existe aucune interaction avec une particule (ou quoi que ce soit d'autre) en dehors du système.

Démonstration: on veut donc montrer que la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement totale est nulle. On a:

\frac{d {\vec{P}}_{T O T}}{d t} = \frac{d (\sum_{i = 1}^{N} {\vec{p}}_{i})}{d t} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{i}}{d t}

Si on note ${\vec{F}}_{k l}$ la force exercée par la particule $k$ sur la particule $l$ , alors on a:

\frac{d {\vec{p}}_{i}}{d t} = \sum_{k \neq i} {\vec{F}}_{k i}

Notons ensuite que la troisième loi de Newton, on a:

{\vec{F}}_{k l} = - {\vec{F}}_{l k}

Et donc:

\frac{d {\vec{P}}_{T O T}}{d t} = \sum_{i} \sum_{k \neq i} {\vec{F}}_{k i} = \frac{1}{2} (\sum_{i} \sum_{k \neq i} {\vec{F}}_{k i} + \sum_{k} \sum_{i \neq k} {\vec{F}}_{i k}) = \frac{1}{2} (\sum_{i} \sum_{k \neq i} ({\vec{F}}_{k i} + {\vec{F}}_{i k})) = 0

Où l'on utilise d'abord le fait que l'on peut librement renommer les indices de sommations, puis on utilise le fait que:

\sum_{k} \sum_{i \neq k} (. . .) = \sum_{i} \sum_{k \neq i} (. . .)

C'est à dire que l'on peut sommer d'abord sur $i$ puis sur $k$ , où l'inverse.

Notons que l'on peut généraliser facilement ce théorème dans le cas où l'on a des forces extérieurs ${\vec{F}}_{i}$ , on a alors:

\frac{d {\vec{P}}_{T O T}}{d t} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} = {\vec{F}}_{E X T}

Où ${\vec{F}}_{E X T}$ est la somme des forces extérieures.

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