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Axiome de l'ensemble des parties

Idée générale de l'axiome

Cet axiome introduit l'idée de «sous-ensemble». Il affirme que pour un ensemble donné, il existe un ensemble qui est l'ensemble des sous-ensemble de cet ensemble. On va donc préciser cette notion de sous-ensemble avant d'énoncer l'axiome.

Notion de sous-ensemble

La notion de sous-ensemble est simple à comprendre. Considérons deux ensembles quelconques A et B. On dit que B est un sous-ensemble de A si tout les éléments de B sont aussi éléments de A. Dans ce cas note:

AB

On introduit donc un nouveau symbole: «». Il est possible de le définir avec les notations vues en logique. En regardant la définition de la notion de sous-ensemble, on peut se rendre compte que la formule:

X,XAXB

et équivalent à écrire AB ce qui définit donc le symbole «».

Remarque: on dit aussi lorsque AB que A est inclus dans B.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Quel que soit l'ensemble A, il existe un ensemble noté P(A) qui est l'ensemble des sous-ensembles de A.

Écriture formelle

En langage formel, l'axiome s'écrit:

A,P,X(XPXA)