Axiome de l'ensemble des parties

Idée générale de l'axiome

Cet axiome introduit l'idée de «sous-ensemble». Il affirme que pour un ensemble donné, il existe un ensemble qui est l'ensemble des sous-ensemble de cet ensemble. On va donc préciser cette notion de sous-ensemble avant d'énoncer l'axiome.

Notion de sous-ensemble

La notion de sous-ensemble est simple à comprendre. Considérons deux ensembles quelconques $A$ et $B$. On dit que $B$ est un sous-ensemble de $A$ si tout les éléments de $B$ sont aussi éléments de $A$. Dans ce cas note:

On introduit donc un nouveau symbole: «$\subset$». Il est possible de le définir avec les notations vues en logique. En regardant la définition de la notion de sous-ensemble, on peut se rendre compte que la formule:

et équivalent à écrire $A\subset B$ ce qui définit donc le symbole «$\subset$».

Remarque: on dit aussi lorsque $A\subset B$ que $A$ est inclus dans $B$.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Quel que soit l'ensemble $A$, il existe un ensemble noté $P(A)$ qui est l'ensemble des sous-ensembles de $A$.

Écriture formelle

En langage formel, l'axiome s'écrit: