Schéma d'axiomes de remplacement

Idée générale de l'axiome

Cet axiome introduit l'idée de «relation fonctionnelle». Attention, il ne faut pas confondre avec la notion de fonction (au sens de la théorie des ensembles une fonction est un ensemble - à ne pas confondre avec les fonctions en logique). L'axiome dit simplement que l'image d'un ensemble par une relation fonctionnelle est un ensemble. Mais il est important d'introduire cette notion de relation fonctionnelle.

Les relations fonctionnelles

La notion de relation peut être comprise de manière «naïve» ce qui va nous aider pour écrire cet axiome. Il est important de souligner le fait que l'on va développer cette notion de manière naïve car la notion exacte de relation sera vue plus tard. Ce sera cependant suffisant pour écrire l'axiome correctement.

Considérons deux ensembles $A$ et $B$. On peut définir une relation entre ces deux ensembles. Disons pour donner un exemple ludique que la relation est «utilise le système d'exploitation» et que $A$ est l'ensemble contenant les éléments suivants: Steve Ballmer, Linus Torvalds, Steve Jobs, Christophe Roland (moi) et que $B$ contient les éléments: Windows, Linux, OSX, Hurd. On peut représentez la relation par un diagramme:

On dit par exemple que l'élément «Christophe Roland» est envoyé sur les élément «Windows» et «Linux» par cette relation. On dit que les éléments «Windows» et «Linux» sont les images de «Christophe Roland», et que «Christophe Roland» est un antécédent de «Windows» et «Linux» Pour donner d'autres exemples, «OSX» est l'image de «Steve Jobs» et «Hurd» n'a pas antécédents.

Une relation fonctionnelle est un type particuliers de relation: une relation fonctionnelle est une relation où chaque élément a au plus une image (on dit bien «au plus» car on peut avoir des éléments qui n'ont pas d'image). On voit bien que l'exemple donné n'est pas une relation fonctionnelle car «Christophe Roland» a deux images.

Énoncé de l'axiome

Axiome: l'image d'un ensemble par une relation fonctionnelle est un ensemble.

Écriture formelle

On peut maintenant écrire l'axiome proprement. Pour cela considérons un prédicat à deux arguments $X$ et $Y$ plus d'autres paramètres éventuels que nous allons noter $A_1,A_2,A_3,....,A_n$, on a donc: $P(X,Y,A_1,...,A_n)$. En fait, pourquoi fait-on cela? On veut avoir une relation qui envoie $X$ sur $Y$ c'est à dire que $Y$ est une image de $X$. On va dire que $P(X,Y,A_1,...,A_n)$ est équivalent à dire que $Y$ est une image de $X$ par cette relation. Pour que cette relation soit fonctionnelle, on doit écrire que si $Y$ est une image de $X$, et si $Y\prime$ est aussi une image de $X$, alors $Y=Y\prime$ car une relation fonctionnelle a au plus une image. On écrit alors:

Une fois ceci établi, il reste à dire que l'image d'un ensemble $A$ par une fonction est un ensemble (on va le noter $B$), c'est à dire que quel que soit $X$ appartenant à $A$, son image par la relation fonctionnelle appartient à $B$ et que tout élément de $B$ a un antécédent dans $A$. Pour cela, considérons un élément $Y\in B$. Il a un antécédent $X$ c'est à dire:

On remet tout cela ensemble pour écrire l'axiome:

Pourquoi dit-on que nous avons un schéma d'axiomes? C'est simple: il y a autant d'axiomes que de prédicats $P$, on a en réalité un nombre infini d'axiomes.

Conséquences

Parlons maintenant des conséquences de cet axiome.

Schéma de compréhension

On peut tout d'abord trouver un cas particuliers de cet axiome: le cas où $X=Y=Y\prime$. On a que le début de l'axiome:

devient toujours vrai car $A\Rightarrow B$ est toujours vrai quand $B$ est vrai. On peut donc tout simplement supprimer cette partie. De même, la lettre $Y$ peut être remplacée par $X$ (pour la simplicité) et $P(X,Y,A_1,...,A_n)$ devient: $P(X,X,A_1,...,A_n)$. On peut ensuite remplacer ce prédicat par un autre prédicat $P\prime$ ayant un argument en moins en posant:

On a donc (le prédicat $P\prime$ est renommé $P$ car il n'y a plus de confusion possible):

Ce résultat est souvent appelé «schéma d'axiome de compréhension» mais comme on peut le démontrer, il est préférable de ne pas le considérer comme un axiome. On l'appellera tout simplement schéma de compréhension (et on le considère comme un théorème).

On va maintenant parler des conséquences du schéma de compréhension.

Définition en compréhension

Si vous le relisez bien, vous pouvez remarquer que l'on peut l'énoncer ainsi: soit un ensemble $A$ et une propriété $P$, il existe un ensemble $B$ d'éléments de $A$ vérifiant la propriété $P$. C'est à dire qu'on peut définir un ensemble $B$ comme ceci:

Il est possible à partir de cet axiome de démontrer ce que l'on appelle parfois le «schéma d'axiome de compréhension». Il peut s'énoncer ainsi: soit un ensemble $A$ et une propriété $P$, il existe un ensemble $B$ d'éléments de $A$ vérifiant la propriété $P$. C'est à dire qu'on peut définir un ensemble $B$ comme ceci:

1. on donne un ensemble $A$ dont $B$ sera un sous-ensemble,
2. on donne une propriété $P$ pour définir quels seront les éléments de $B$ parmi les éléments de $A$.

Imaginons par exemple que l'on ait un ensemble $A$ qui contienne les éléments suivants: 1, 2, 3, 4, 5. Si on a une propriété $P$ qui veut dire: «strictement plus grand que 3», on peut alors définir l'ensemble $B$ en utilisant le schéma de compréhension qui contiendra les éléments 4 et 5.

Ensemble vide

On peut à partir de cela trouver un autre résultat. Si on a un ensemble $A$ quelconque, on peut définir un ensemble (que l'on va noter $\varnothing$) avec la propriété $P$: «$X\ne X$» avec le schéma de compréhension. Comme il n'existe aucun élément qui puisse satisfaire à $P$, l'ensemble $B$ est vide, il n'a aucun éléments. L'ensemble vide est donc bien un ensemble au sens des axiomes ZFC.

Remarque: il faut pour cela que $A$ existe dans le modèle de la théorie des ensembles, mais cela est assuré car en logique des prédicats on ne considère que des modèles non vide: il existe donc au moins un ensemble à partir duquel on peut définir l'ensemble vide.

Théorème de la paire

À partir du schéma d'axiomes de remplacement, on peut faire une autre déduction: ce que l'on nomme souvent «l'axiome de la paire» mais que nous n'allons pas considérer comme un axiome car on va le démontrer, et nous allons appeler ce résultat «théorème de la paire». Attention, vous ne rencontrerez cette expression pratiquement que sur ce site internet, car c'est historiquement un axiome.

Le théorème de la paire peut s'énoncer ainsi: soit deux ensembles $A$ et $B$, il existe un ensemble $C$ qui admet $A$ et $B$ comme élément - et seulement ceux ci. Démonstration: on sait que l'ensemble vide existe. Si nous appliquons l'axiome de l'ensemble des parties sur cet ensemble, on a que l'ensemble qui contient comme seul élément l'ensemble vide existe. En effet, le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide.

On a donc un ensemble qui a $\varnothing$ comme seul élément, et on va noter cet ensemble $E$. On applique une deuxième fois l'axiome de l'ensemble des parties sur $E$ cette fois. On a donc comme résultat qu'il existe un ensemble qui contient deux éléments: l'ensemble vide et l'ensemble $E$ et on va noter cet ensemble $E\prime$.

C'est là qu'on doit appliquer le schéma d'axiome de remplacement. Soit deux ensemble $A$ et $B$. On utilise une relation fonctionnelle $P(X,Y)$ définit comme ceci:

On peut facilement voir que cette relation est bien fonctionnelle. Pour ceux qui ont du mal avec cette expression logique, il faut juste se dire que $A$ est l'image de $\varnothing$ et que $B$ est l'image de $E$. On applique donc cette relation sur l'ensemble $E\prime$:

1. comme $\varnothing \in E\prime$, par la relation $P$ son image est $A$,
2. comme $E\in E\prime$, par la relation $P$ son image est $B$.

Et on obtient l'ensemble qui contient $A$ et $B$ comme seuls éléments et c'est bien un ensemble à cause du schéma d'axiome de remplacement.