Axiome de fondation

Idée générale de l'axiome

Ce axiome a comme conséquence qu'il n'existe pas d'ensemble $X$ tel que $X\in X$. Pour pouvoir l'énoncer, il faut introduire la notion d'intersetion entre deux ensembles.

Intersection

On considère deux ensembles $A$ et $B$. L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble qui contient tout les éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ et on le note $A\cap B$. Pour définir cet ensemble de manière rigoureuse, on utilise le schéma de compréhension. On a vu que pour définir un ensemble en compréhension, il faut un ensemble et une propriété. Dans le cas de l'intersection, il suffit d'utiliser l'ensemble $A\cup B$ et la propriété $P(X)\iff (X\in A\wedge X\in B)$ pour que $X$ appartienne à la fois à $A$ et à $B$.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Soit un ensemble $A\ne \varnothing$, il existe un ensemble $B$ appartenant à $A$ tel que $A$ et $B$ n'ont aucun éléments en commun.

Écriture formelle

Il n'est pas difficile d'écrire cet axiome de manière formelle: