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Axiome de fondation

Idée générale de l'axiome

Ce axiome a comme conséquence qu'il n'existe pas d'ensemble X tel que XX. Pour pouvoir l'énoncer, il faut introduire la notion d'intersetion entre deux ensembles.

Intersection

On considère deux ensembles A et B. L'intersection de A et B est l'ensemble qui contient tout les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B et on le note AB. Pour définir cet ensemble de manière rigoureuse, on utilise le schéma de compréhension. On a vu que pour définir un ensemble en compréhension, il faut un ensemble et une propriété. Dans le cas de l'intersection, il suffit d'utiliser l'ensemble AB et la propriété P(X)(XAXB) pour que X appartienne à la fois à A et à B.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Soit un ensemble A, il existe un ensemble B appartenant à A tel que A et B n'ont aucun éléments en commun.

Écriture formelle

Il n'est pas difficile d'écrire cet axiome de manière formelle:

A,AB(BAAB=)