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Éléments, sous-ensembles

Élément d'un ensemble

Rappelons tout d'abord une notion fondamentale: si on a deux ensembles A et B et que A est un élément de B, on note:

AB

Dans le cas contraire, on peut écrire:

AB

Inclusion

Rappelons que si tout les éléments de A sont aussi élément de B, on dit que A est inclus dans B et qu'il est un sous-ensemble de B et on note:

AB

On peut écrire aussi:

BA

On dit aussi que B est un sur-ensemble de A. On rappelle aussi que l'on peut formaliser cette notion:

AB(X,XAXB)

Propriétés

Deux propriétés faciles à démontrer:

Première propriété:

(ABBC)AC

Démonstration:

On utilise la définition de l'inclusion, on peut réécrire:

X,((XAXB)(XBXC))(XAXC)

On peut rappeler le modus barbara vu en logique:

(AB)(BC)(AC)

Et en comparant les deux expressions on voit qu'elle sont équivalentes ce qui achève la démonstration.

Deuxième propriété:

(ABBC)AC

On utilise encore la définition de l'inclusion:

X,(AB(XBXC))AC

Si l'expression AB(XBXC) est vraie on a que AB est vrai; et comme elle vraie pour tout X, elle est donc vraie en particuliers pour X=A, on a donc:

X,(AB(XBXC))(AB(ABAC))

On a donc que AB(ABAC) est vrai, alors on sait que ABAC est vrai. Comme on sait que AB est vraie, alors AC est vrai aussi et on a donc prouvé l'implication.