Espaces vectoriels

Notion intuitive de vecteur

La notion intuitive de vecteur est très facile à comprendre. Il existe en effet une approche géométrique très simple, qui est celle donné dans l'enseignement secondaire. Nous allons commencer par cette vision intuitive, mais nous allons aussi directement donner la définition la plus abstraite et générale possible, ce qui nous permettra d'utiliser ces notions dans des contextes relativement inattendus.

Mais pour l'instant nous n'en sommes pas encore là. On va considérer un vecteur comme une «flèche», c'est à dire qu'un vecteur possède trois caractéristiques:

une direction,
un sens,
une norme.

Il ne faut pas confondre sens et direction: une droite suffit pour donner une direction, mais on peut suivre une droite dans les deux sens possibles. La norme du vecteur, est intuitivement, la «longueur de la flèche».

Une conséquence immédiate du faite qu'il suffit de donner une direction, un sens et une norme pour définir un unique vecteur, c'est que deux flèches parallèles, de même sens et de même longueurs, définissent le même vecteur. Ainsi, sur la figure suivante:

On a trois représentations d'une seul et unique vecteur. Ainsi, il suffit par exemple de choisir le vecteur partant de l'origine. Les coordonnées de la pointe de la flèche suffisent alors à spécifier un unique vecteur. Il existe donc une correspondance biunivoque (c'est à dire une bijection) entre l'espace des points ( $ℝ^{n}$ ). Ainsi, on peut même considérer les points de $ℝ^{n}$ comme des vecteurs !

Pour des raisons évidentes, on va convenir de noter un vecteur avec une flèche au dessus: $\vec{v}$ , certains auteurs choisissent plutôt de mettre en gras: $v$ . Comme on a supposé que l'on peut considérer les éléments de $ℝ^{n}$ , il est tentant d'écrire:

\vec{v} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n})

Cette écriture suggère le sens que l'on pourrait donner à l'addition de deux vecteurs. Si $\vec{v} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n})$ et $\vec{u} = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, . . ., y_{n})$ , il est tenant d'écrire:

\vec{v} + \vec{u} = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, x_{3} + y_{3}, . . ., x_{n} + y_{n})

On voit directement que l'addition de deux vecteurs est:

commutative c'est à dire que pour tout vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ on ait $\vec{v} + \vec{u} = \vec{u} + \vec{v}$ ,
associative c'est à dire que pour tout vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , et $\vec{w}$ , on ait $(\vec{v} + \vec{u}) + \vec{w} = \vec{v} + (\vec{u} + \vec{w})$ ,
qu'il existe un élément neutre c'est à dire qu'il existe un élément que l'on va noter $\vec{0}$ tel que pour tout vecteur $\vec{v}$ , on ait $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ , ici on a simplement $\vec{0} = (0, 0, 0, . . ., 0)$
et enfin qu'il existe un inverse c'est à dire que pour tout vecteur $\vec{v}$ , il existe un vecteur que l'on convient de noter $- \vec{v}$ , tel que $\vec{v} + (- \vec{v}) = \vec{0}$ , si $\vec{v} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n})$ , alors $- \vec{v} = (- x_{1}, - x_{2}, - x_{3}, . . ., - x_{n})$ .

On peut donner une interprétation géométrique simple de l'addition de deux vecteurs. Sur la figure suivante, on a les vecteurs $\vec{A} = (6, 1)$ et $\vec{B} = (3, 4)$ , leur somme est donnée par $\vec{A} + \vec{B} = (6 + 3, 1 + 4) = (9, 5)$ . Géométriquement, on voit que l'on peut soit transporter parallèlement la flèche représentant le vecteur $\vec{B}$ de façon à le ramener sur l'extrémité de la flèche représentant le vecteur $\vec{A}$ , soit faire le contraire:

Sur la figure, les flèches transportée parallèlement sont en pointillés. La représentation «en flèche» des vecteurs, permet d'exprimer cette propriété géométrique de façon algébrique. Si on note $\vec{A B}$ le vecteur représentée par une flèche qui part du point $A$ et arrive au point $B$ , alors on a:

\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}

C'est la relation de Chasles.

Remarque: il est possible de définir la notion de vecteur lié en disant que deux points $A$ et $B$ définissent toujours un et un seul vecteur lié: $\vec{A B}$ . Deux tels vecteurs liés qui définissent le même vecteur, sont dit équipollents.

Ayant maintenant esquissé la notion d'addition de vecteurs, nous allons passer à une autre opération très simple sur les vecteurs: la multiplication par un scalaire. L'idée est de pouvoir «faire varier la norme» du vecteur, donc «changer la longueur de la flèche». le terme «scalaire» vient du latin «scalaris», «scala» en latin signifiant «échelle», ainsi multiplier scalairement revient à «changer l'échelle» du vecteur.

Ainsi, si on veut par exemple multiplier la norme d'un vecteur $\vec{v}$ par deux, on écrit tout simplement $2 \vec{v}$ . On a donc ici une notion de multiplication d'un nombre (un scalaire) par un vecteur. Une autre question, mais qu'on laisse pour plus tard, est de savoir si cela a un sens de parler de multiplication de deux vecteurs.

Précisons maintenant les opérations possible sur les scalaires. Si on a deux scalaires $α$ et $β$ , on s'attend à ce que l'on puisse écrire, pour un certain vecteur $\vec{v}$ :

α \vec{v} + β \vec{v} = (α + β) \vec{v}

C'est à dire que l'addition de deux scalaires doit avoir un sens. Bien sûr, dans notre cas particuliers où les scalaires sont simplement des nombres réels, c'est quelque chose d'évident, mais nous voulons pouvoir donner une définition générale plus tard.

De même que pour l'addition, on peut raisonnablement s'attendre à ce qu'il ait un sens à écrire:

α (β \vec{v}) = (α β) \vec{v}

C'est à dire que la mutiplication de deux scalaires doit avoir un sens. Nous avons maintenant réuni assez d'informations pour définir la notion de vecteur de façon générale.

Définition

Définition 1.

Un corps est la donnée d'un ensemble $K$ et de deux lois de composition interne sur $K$ appelées addition et soustraction notés respectivement $+$ et $\cdot$ , tel que:

L'addition et la mutiplication sont commutatives.
L'addition et la mutiplication sont associatives.
Existence d'un élément neutre pour l'addition, noté $0$ , et d'un élément neutre pour la mutiplication noté $1$ .
Existence de l'élément symétrique pour l'addition et la multiplication. Soit $α \in K$ , son élément symétrique pour l'addition est noté $(- α)$ et est appelé son opposé, et son élément symétrique pour la mutiplication est noté $α^{- 1}$ et est appelé son inverse.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.

On peut alors définir la notion d'espace vectoriel:

Définition 2.

Soit $K$ un corps, un $K$ -espace vectoriel est la donnée d'un ensemble $V$ dont les éléments sont appelés des vecteurs, et d'une loi de composition interne sur $V$ appelé addition vectorielle et notée $+$ et d'une loi de composition externe appelée multiplication scalaire et notée $\cdot$ , tel que:

L'addition vectorielle est commutative.
L'addition vectorielle est associative.
Existence d'un élément neutre pour l'addition vectorielle, noté $\vec{0}$ .
Existence de l'élément symétrique pour l'addition vectorielle (le symétrique du vecteur $\vec{v}$ étant noté $(- \vec{v})$ ).
Distribution scalaire: $\forall λ \in K, \forall \vec{v}, \vec{u} \in V, λ (\vec{v} + \vec{u}) = λ \vec{v} + λ \vec{u}$ et: $\forall \vec{v} \in V, \forall λ, μ \in K, \vec{v} (λ + μ) = λ \vec{v} + μ \vec{v}$
Élément scalaire neutre pour la multiplication scalaire: $\exists e \in K : \forall \vec{v} \in V, e \vec{V} = \vec{V}$
La multiplication scalaire est associative: $\forall λ, μ \in K, \forall \vec{v} \in V, λ (μ \vec{v}) = (λ μ) \vec{v}$

Exemple. Comme nous l'avons vu, $ℝ^{n}$ peut être vu comme un $ℝ$ -espace vectoriel. L'addition vectoriel et la multiplication scalaire sont très simplement définies comme nous l'avons vu dans notre approche intuitive.

Exemple. L'ensemble des fonctions définies sur un intervalle $[a, b]$ de $ℝ$ et à valeur dans $ℝ$ forme un $ℝ$ -espace vectoriel, la multiplication scalaire et l'addition vectorielle étant simplement définies à partir de la multiplication et de l'addition dans $ℝ$ .

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