Bases et dimension d'un espace vectoriel

Combinaisons linéaires

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, supposons une collection de $n$ vecteurs ${\vec{v}}_{i} \in V$ toute expression de la forme (qui représente bien sûr un vecteur de $V$ ):

λ^{1} {\vec{v}}_{1} + λ^{2} {\vec{v}}^{2} + . . . + λ^{3} {\vec{v}}^{3} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{v}}_{i}

où les $λ^{i}$ sont $n$ éléments de $K$ , est appelée une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{v}}_{i}$ . Il faut faire attention qu'il n'y a pas d'exponentiation dans la notation $λ^{i}$ , le $i$ ne sert qu'à distinguer les différents $λ$ .

Note: pour ceux qui ne sont pas familier avec ce genre de notation pour une somme, une petite explication s'impose. Le symbole $Σ$ est utilisé pour écrire une somme de façon abrégée. L'écriture:

\sum_{i = 1}^{n} (. . .)

indique que l'on somme sur $n$ termes, indicés par $i$ , en faisant varier $i$ entre $1$ et $n$ .

Définition 3.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, $n$ vecteurs ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, . . ., {\vec{v}}_{n} \in V$ sont dit linéairement indépendants si:

\forall λ^{1}, λ^{2}, . . ., λ^{n} \in K, λ^{i} {\vec{v}}_{i} = \vec{0} \Rightarrow λ^{1} = λ^{2} = . . . = λ^{n} = 0

Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants.

Dit autrement, toute combinaison linéaire de vecteurs linéairement indépendants donne un vecteur autre que le vecteur nul, sauf si tout les les cœfficients de la combinaison linéaire sont nuls.

Sous-espace vectoriel

Définition 4.

Soit $W$ un sous-ensemble d'un $K$ -espace vectoriel $V$ , $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites:

$\vec{0} \in W$
$\forall \vec{v}, \vec{u} \in W, \forall λ, μ \in K, λ \vec{v} + μ \vec{u} \in W$

Autrement dit, un sous-ensemble $W$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si le vecteur nul appartient à $W$ , et que toute combinaison linéaire de vecteurs de $W$ appartient encore à $W$ .

Théorème 1.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, $W$ un sous-espace vectoriel de $V$ , alors $W$ est un $K$ -espace vectoriel.

Il n'y a pas besoin de démonstration, il suffit de regarder la définition d'espace vectoriel pour voir que ce résultat est trivial. Il y a toutefois une légère subtilité. Un espace vectoriel n'est pas que la donnée d'un ensemble et d'un corps, mais aussi d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe. Il nous faut une loi de composition interne sur $W$ , donc une application de $W \times W$ dans $W$ (l'addition vectorielle). Dans le théorème, on admet implicitement que l'on «réutilise» la loi de composition interne dans $V$ , mais ce n'est clairement pas la même puisque c'est une application de $V \times V$ dans $V$ . Il faut donc restreindre cette application à $W$ c'est-à-dire que si $G$ est le graphe de la loi de composition interne sur $V$ , alors la restriction à $W$ a pour graphe $G \cap ((W \times W) \times W)$ . Un raisonnement analogue s'applique à la multiplication scalaire.

Théorème 2.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, . . ., {\vec{v}}_{n} \in V$ , l'ensemble $W$ des combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sous-espace vectoriel de $V$ .

Démonstration. Il suffit de vérifier les critères donnés au théorème précédent. Vérifions d'abord le deuxième critère. On a par hypothèse:

\forall \vec{w} \in W, \exists λ^{1}, λ^{2}, . . ., λ^{n} \in K : \vec{w} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{v}}_{i}

et donc:

α {\vec{w}}_{1} + β {\vec{w}}_{2} = α \sum_{i = 1}^{n} λ_{1}^{i} {\vec{v}}_{i} + β \sum_{i = 1}^{n} λ_{2}^{i} {\vec{v}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (α λ_{1}^{i} + β λ_{2}^{i}) {\vec{v}}_{i} \in W

où ${\vec{w}}_{1}, {\vec{w}}_{2} \in W$ et $α, β \in K$ . On voit que $α {\vec{w}}_{1} + β {\vec{w}}_{2}$ est bien une combinaison linéaire des ${\vec{v}}_{i}$ (avec les cœfficients $α λ_{1}^{i} + β λ_{2}^{i}$ ) et donc appartient à $W$ .

Vérifions maintenant le deuxième critère. Il suffit de montrer que pour tout $\vec{v}$ , on a $0 \vec{v} = \vec{0}$ (rappelons que nous avons noté $0$ l'élément neutre de l'addition dans $K$ , et $\vec{0}$ l'élément neutre de l'addition dans $V$ ). Il faut d'abord vérifier que l'on a bien un seul élément neutre, notons $\vec{e}$ un éventuel élément neutre différent de $\vec{0}$ , on aurait alors:

\vec{e} = \vec{e} + \vec{0} = \vec{0}

L'élément neutre est donc unique. On a donc:

\vec{v} + 0 \vec{v} = (1 + 0) \vec{v} = \vec{v}

et donc en additionnant par l'élément symétrique $- \vec{v}$ de $\vec{v}$ , on obtient immédiatement $0 \vec{v} = \vec{0}$ . Le deuxième critère est donc prouvé (on a en effet $\vec{0} = \sum_{i} 0 {\vec{v}}_{i} \in W$ ) ce qui achève la démonstration.

On dit (dans le cas du théorème) que les vecteurs ${\vec{v}}_{i}$ engendrent $V$ si $W = V$ , sinon on dit que le sous-espace $W$ est engendré par les vecteurs ${\vec{v}}_{i}$ .

Base

Définition 5.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, on dit que les vecteurs ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, . . ., {\vec{v}}_{n} \in V$ forment une base de $V$ si et seulement si ils sont linéairement indépendants et s'ils engendrent $V$ .

Ce qui nous amène au théorème suivant:

Théorème 3.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, ${{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, . . ., {\vec{e}}_{n}}$ une base de $V$ , et $\vec{v} \in V$ un vecteur, alors il existe un et un seul ensemble de $n$ scalaires ${λ^{1}, λ^{2}, . . ., λ^{n}}$ tel que:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{e}}_{i}

Démonstration. Tout d'abord, comme ${{\vec{e}}_{i}}$ est une base, alors par définition n'importe quel vecteur de $V$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{e}}_{i}$ , il existe donc au moins un ensemble de scalaires ${λ^{i}}$ . Montrons qu'il n'en existe pas d'autre. Supposons en effet le contraire. On aurait un ensemble ${μ^{i}}$ différent de l'ensemble ${λ^{i}}$ , tel que:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{e}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} μ^{i} {\vec{e}}_{i}

Mais alors on aurait:

\vec{0} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{e}}_{i} - \sum_{i = 1}^{n} μ^{i} {\vec{e}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (λ^{i} - μ^{i}) {\vec{e}}_{i}

Mais alors les vecteurs ${\vec{e}}_{i}$ ne seraient pas linéairement indépendants ce qui contredirait notre hypothèse qu'ils constituent une base.

Puisque cet ensemble de scalaires est unique, on va convenir d'appeler les $λ^{i}$ les composantes de $\vec{v}$ dans la base ${{\vec{e}}_{i}}$ . L'écriture:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{e}}_{i}

est appelé le développement de $\vec{v}$ sur la base ${{\vec{e}}_{i}}$ . On écrit alors parfois:

\vec{v} = (\begin{matrix} λ^{1} \\ λ^{2} \\ ⋮ \\ λ^{n} \end{matrix})

Écriture bien sûr un peu abusive puisqu'elle n'a de sens que dans une base précise de $V$ .

Théorème 4.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, ${{\vec{e}}_{i}}$ une base de $V$ comportant $n$ vecteur, et ${{\vec{f}}_{j}}$ un ensemble de $m$ vecteurs linéairement indépendants. Alors $m \leq n$ .

Démonstration. Comme ${{\vec{e}}_{i}}$ est une base de $V$ , on peut développez l'un des ${\vec{f}}_{j}$ (disons par exemple ${\vec{f}}_{1}$ ) sur cette base:

{\vec{f}}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} {\vec{e}}_{i}

Comme les $λ^{i}$ ne sont pas tous nuls, on peut supposer (quitte à ré-indexer) que $λ^{1} \neq 0$ , et donc on peut exprimer ${\vec{e}}_{1}$ comme un combinaison linéaire des autres vecteurs ${\vec{e}}_{i}$ et de ${\vec{f}}_{1}$ :

{\vec{e}}_{1} = \frac{1}{λ^{1}} {\vec{f}}_{1} - \sum_{i = 2}^{n} \frac{λ^{i}}{λ^{1}} {\vec{e}}_{i}

Choisissons maintenant un vecteur quelconque $\vec{v} \in V$ . On doit pouvoir le développez sur la base ${{\vec{e}}_{i}}$ , on a alors:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} {\vec{e}}_{i} = v^{1} [\frac{1}{λ^{1}} {\vec{f}}_{1} - \sum_{i = 2}^{n} \frac{λ^{i}}{λ^{1}} {\vec{e}}_{i}] + \sum_{i = 2}^{n} v^{i} {\vec{e}}_{i} = \frac{v^{1}}{λ^{1}} {\vec{f}}_{1} + \sum_{i = 2}^{n} (v^{i} - \frac{v^{1} λ^{i}}{λ^{1}}) {\vec{e}}_{i}

Ce qui montre qu'un vecteur quelconque de $V$ peut toujours s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{f}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, . . ., {\vec{e}}_{n}$ . Ces vecteurs engendrent donc $V$ .

On peut continuer de la même manière, et remplacer ${\vec{e}}_{2}$ par ${\vec{f}}_{2}$ et obtenir encore un ensemble de vecteurs qui engendrent $V$ , puis de même en remplaçant ${\vec{e}}_{3}$ par ${\vec{f}}_{3}$ ..., et ainsi de suite. Raisonnons par récurrence en supposant $m > n$ , et montrons que l'on arrive à une contradiction. Supposons que nous ayons formé l'ensemble ${{\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{k}, {\vec{e}}_{k + 1}, . . ., {\vec{e}}_{n}}$ , qui engendre $V$ . Comme il engendre $V$ , on doit pouvoir écrire:

{\vec{f}}_{k + 1} = \sum_{i = 1}^{k} μ^{i} {\vec{f}}_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} ν^{i} {\vec{e}}_{i}

On ne peut pas avoir tout les $ν^{i}$ nuls, sinon on aurait exprimé ${\vec{f}}_{k + 1}$ comme une combinaison linéaire des autres vecteurs ${\vec{f}}_{i}$ , ce qui contredirait notre hypothèse. On peut donc supposer $ν^{k + 1} \neq 0$ quitte à ré-indexer. On peut alors exprimer ${\vec{e}}_{k + 1}$ comme une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{k}, {\vec{f}}_{k + 1}, {\vec{e}}_{k + 2}, . . . {\vec{e}}_{n}$ :

{\vec{e}}_{k + 1} = \frac{1}{ν^{k + 1}} {\vec{f}}_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} \frac{μ^{i}}{ν^{k + 1}} {\vec{f}}_{i} - \sum_{i = k + 2}^{n} \frac{ν^{i}}{ν^{k + 1}} {\vec{e}}_{i}

Comme ${{\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{k}, {\vec{e}}_{k + 1}, . . ., {\vec{e}}_{n}}$ engendre $V$ , on doit pouvoir écrire pour $\vec{v} \in V$ quelconque:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{k} v^{i} {\vec{f}}_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} v^{i} {\vec{e}}_{i} = \sum_{i = 1}^{k} v^{i} {\vec{f}}_{i} + \sum_{i = k + 2}^{n} v^{i} {\vec{e}}_{i} + v^{k + 1} [\frac{1}{ν^{k + 1}} {\vec{f}}_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} \frac{μ^{i}}{ν^{k + 1}} {\vec{f}}_{i} - \sum_{i = k + 2}^{n} \frac{ν^{i}}{ν^{k + 1}} {\vec{e}}_{i}]

Soit:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{k} (v^{i} - \frac{v^{k + 1} μ^{i}}{ν^{k + 1}}) {\vec{f}}_{i} + \frac{v^{k + 1}}{ν^{k + 1}} {\vec{f}}_{k + 1} + \sum_{i = k + 2}^{n} (v^{i} - \frac{v^{k + 1} ν^{i}}{ν^{k + 1}}) {\vec{e}}_{i}

Ce qui montre bien que l'ensemble ${{\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{k + 1}, {\vec{e}}_{k + 2}, . . ., {\vec{e}}_{n}}$ engendre $V$ . Comme on a supposé (par l'absurde) que $m > n$ , on en arrive à former l'ensemble ${{\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{n}}$ qui engendre $V$ . Mais alors on doit avoir que ${\vec{f}}_{n + 1}$ doit pouvoir s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs ${\vec{f}}_{1}, . . ., {\vec{f}}_{n}$ , ce qui contredit notre hypothèse. On a donc bien $m \leq n$ ce qui achève la démonstration.

Théorème 5.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, ${{\vec{e}}_{i}}$ une base de $V$ comportant $n$ vecteur, et ${{\vec{f}}_{j}}$ une autre de base de $V$ comportant $m$ vecteurs, alors $n = m$ .

Démonstration. Par le théorème précédent, appliqué à chacune des base, on doit avoir à la fois $n \leq m$ et $n \geq m$ , donc on a $m = n$ .

On a donc, pour un espace vectoriel donné, un nombre particuliers (le nombre de vecteurs dans une de cet espace vectoriel), que l'on va appeler la dimension de cet espace. Si l'espace vectoriel $V$ a pour dimension $n$ , on va noter:

n = \dim (V)

Exemple. $ℝ^{2}$ est un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension deux. En effet, il est facile de voir que ${\vec{e}}_{1} = (1, 0)$ et ${\vec{e}}_{2} = (0, 1)$ forment une base. En effet, un élément quelconque de $ℝ^{2}$ s'écrit $(a, b)$ , qui peut être développée sur cette base: $(a, b) = a {\vec{e}}_{1} + b {\vec{e}}_{2}$ . Par un raisonnement similaire, on peut facilement voir que $ℝ^{n}$ est un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension $n$ .

Considérons maintenant le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions de $[a, b] \subset ℝ$ dans $ℝ$ . On peut voir intuitivement qu'aucun ensemble fini de ces fonctions ne peut engendrer l'espace vectoriel. En effet, dans une base hypothétique de cet espace, avec un nombre fini d'éléments, si certains vecteurs de base sont des fonctions polynomiales, alors il y a une de ces fonctions polynômes dont le degré $p$ est supérieur ou égale à celui de toutes les autres. On voit mal alors comment on pourrait développez une fonction polynôme de degré $q > p$ sur cette base.

De tels espaces vectoriels seront alors dit de dimension infinie. Sauf mention contraire, nous travaillerons toujours avec des espaces vectoriels de dimension finie.

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