Produit scalaire et espace dual

Introduction

Nous allons dans la suite utiliser la convention d'Einstein, qui nous permet d'omettre le signe de sommation: on va convenir que tout symbole à la fois en indice et en exposant est un indice de sommation. Par exemple, le développement d'un vecteur $\vec{v}$ sur une base ${{\vec{e}}_{i}}$ va s'écrire:

\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} {\vec{e}}_{i} = v^{i} {\vec{e}}_{i}

Et on conviendra d'utiliser la même lettre pour la notation d'un vecteur et de ses composantes (par exemple les composantes de $\vec{v}$ seront toujours, sauf mention contraire, notée $v^{i}$ ).

Nous allons définir une nouvelle opérations, valable sur les $ℝ$ -espaces vectoriels (en fait pas seulement mais nous allons ici nous restreindre à ce cas). Cette opération, appelée produit scalaire, va faire correspondre à tout couple de vecteur un nombre réel.

Définition

Définition 6.

Soit $V$ un $ℝ$ -espace vectoriel, un produit scalaire sur $V$ , est une fonction de $V \times V$ dans $ℝ$ , que l'on note $⟨ \vec{v}, \vec{u} ⟩$ ou $\vec{v} \cdot \vec{u}$ , telle que:

$\forall \vec{v}, \vec{u} \in V, \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}$ (commutativité)
$\forall \vec{v}, \vec{u}, \vec{w} \in V, \forall λ, μ \in ℝ, (λ \vec{v} + μ \vec{u}) \cdot \vec{w} = λ \vec{v} \cdot \vec{w} + μ \vec{u} \cdot \vec{w}$ (linéarité)

Choisissons une base de $V$ , qu'on va noter ${{\vec{e}}_{i}}$ , et définissons sur $V$ un produit scalaire. Supposons que nous connaissions tout les produits scalaires entre les différents vecteurs de la base, notons alors $g_{i j}$ le produit scalaire du vecteur ${\vec{e}}_{i}$ par le vecteur ${\vec{e}}_{j}$ :

g_{i j} = {\vec{e}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{j}

Notez que le produit scalaire est commutatif, on doit avoir $g_{i j} = g_{j i}$ .

Soit alors deux vecteurs, $\vec{v} = v^{i} {\vec{e}}_{i}$ et $\vec{u} = u^{i} {\vec{e}}_{i}$ , leur produit scalaire peut s'écrire:

\vec{v} \cdot \vec{u} = (v^{i} {\vec{e}}_{i}) \cdot (u^{j} {\vec{e}}_{j}) = v^{i} u^{j} ({\vec{e}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{j}) = g_{i j} v^{i} u^{j}

Ce qui montre que la connaissances des nombres $g_{i j}$ suffit pour calculer le produit scalaire entre deux vecteurs quelconques. Il faut faire attention aussi que dans la formule $\vec{v} \cdot \vec{u} = g_{i j} v^{i} u^{j}$ , il y a une sommation sur deux indices: $i$ et $j$ . Prenons un exemple à deux dimensions:

\vec{v} \cdot \vec{u} = g_{i j} v^{i} u^{j} = g_{11} v^{1} u^{1} + g_{12} v^{1} u^{2} + g_{21} v^{2} u^{1} + g_{22} v^{2} u^{2}

Définition 7.

Soit $V$ un $ℝ$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire, ce produit scalaire est dit non-dégénéré si on a:

\forall \vec{v} \in V, (\forall \vec{u} \in V, \vec{v} \cdot \vec{u} = 0) \Rightarrow \vec{v} = \vec{0}

Ce n'est pas toujours le cas. Supposons, en utilisant encore les produits scalaires des vecteurs de base $g_{i j}$ , que l'on ait (on se met en dimension deux) $g_{11} = - 1, g_{22} = 1, g_{12} = g_{21} = 0$ , alors, le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne:

\vec{v} \cdot \vec{v} = g_{i j} v^{i} v^{j} = - 1 v^{1} v^{1} + 1 v^{1} v^{1} = 0

Définition 8.

Soit $V$ un $ℝ$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire, le produit scalaire est dit défini positif si:

\forall \vec{v} \in V, \vec{v} \cdot \vec{v} ⩾ 0

Dans le cas où le produit scalaire est défini positif, on appelle la norme d'un vecteur $\vec{v}$ la quantité:

| | \vec{v} | | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}

Soient deux vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ , ils sont dit orthogonaux si leur produit scalaire est nul: $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$ .

Ceci nous amène alors à la définition de base orthonormée. Une base orthonormée est une base constituée de vecteurs normés (i.e. de norme un) et telles que deux vecteurs de bases différents soient toujours orthogonaux. Autrement dit, les nombres $g_{i j}$ sont donnés par: $g_{i j} = 1$ pour $i = j$ , et $g_{i j} = 0$ pour $i \neq j$ . Dans cette base, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques $\vec{v} = v^{i} {\vec{e}}_{i}$ et $\vec{u} = u^{i} {\vec{e}}_{i}$ se calcule très facilement:

\vec{v} \cdot \vec{u} = g_{i j} v^{i} u^{j} = \sum_{i} v^{i} u^{i}

Par exemple, dans une base orthonormée de $ℝ^{3}$ , notons cette fois $(x_{v}, y_{v}, z_{v})$ les composantes de $\vec{v}$ et $(x_{u}, y_{u}, z_{u})$ les composantes de $\vec{u}$ , alors on a:

\vec{v} \cdot \vec{u} = x_{v} x_{u} + y_{v} y_{u} + z_{v} z_{u}

Espace dual

Définition 9.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, l'espace dual de $V$ , noté $V^{*}$ , est l'ensemble des applications $ω$ de $V$ dans $K$ qui sont linéaires, c'est à dire telles que:

\forall λ, μ \in K, \forall \vec{v}, \vec{u} \in V, ω (λ \vec{v} + μ \vec{u}) = λ ω (\vec{v}) + μ ω (\vec{u})

La linéarité des éléments de l'espace dual nous permet de calculer son action sur un vecteur quelconque, connaissant son action sur les vecteurs de base. En effet, on a:

ω (\vec{v}) = ω (v^{i} {\vec{e}}_{i}) = v^{i} ω ({\vec{e}}_{i}) = v^{i} ω_{i}

en posant $ω_{i} = ω ({\vec{e}}_{i})$ .

Théorème 6.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, l'espace dual de $V$ est aussi un $K$ -espace vectoriel, si l'addition et la multiplication scalaire sont définies par:

$\forall \vec{v} \in V, \forall ω, η \in V^{*}, (ω + η) (\vec{v}) = ω (\vec{v}) + η (\vec{v})$
$\forall λ \in K, \forall \vec{v} \in V, \forall ω \in V^{*}, (λ ω) (\vec{v}) = λ (ω (\vec{v}))$

Il suffit de vérifier les critères pour avoir un espace vectoriel pour voir que c'est évident. Par exemple, il est clair que la combinaison linéaire de deux éléments de $V^{*}$ est encore un élément de $V^{*}$ . Comme $V^{*}$ est un espace vectoriel, ses éléments seront appelés vecteurs duaux.

On a écrit précédemment l'action d'un vecteur dual sur un vecteur: $ω (\vec{v}) = v^{i} ω_{i}$ avec $ω_{i} = ω ({\vec{e}}_{i})$ . Définissons alors la base duale ${θ^{i}}$ de la base ${{\vec{e}}_{i}}$ en demandant que l'on ait:

θ^{i} ({\vec{e}}_{j}) = δ_{j}^{i}

où $δ_{j}^{i}$ est le symbole de Kronecker qui vaut $1$ si $i = j$ et $0$ si $i \neq j$ . On a alors:

ω (\vec{v}) = v^{i} ω_{i} = v^{j} ω_{i} δ_{j}^{i} = v^{j} ω_{i} θ^{i} ({\vec{e}}_{j}) = ω_{i} θ^{i} (v^{j} {\vec{e}}_{j}) = ω_{i} θ^{i} (\vec{v})

On a donc:

ω = ω_{i} θ^{i}

Ce qui justifie l'appellation de base duale, puisque tout vecteur dual peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs duaux ${θ^{i}}$ et que les vecteurs duaux sont linéairement indépendants. Pour montrer ce dernier point, notons d'abord que le vecteur nul de $V^{*}$ est l'application qui à tout $\vec{v} \in V$ associe le nombre zéro. Construisons alors une combinaison linéaire des vecteurs de la base duale, faisons là agir sur un vecteur $\vec{v} \in V$ quelconque, et demandons que cette combinaison linéaire soit le vecteur nul:

λ_{i} θ^{i} (v^{j} {\vec{e}}_{j}) = λ_{i} v^{j} δ_{i}^{j} = λ_{i} v^{i} = 0

Comme ceci doit être vrai pour tout $\vec{v} \in V$ , on doit avoir tout les $λ_{i}$ nuls. ${θ^{i}}$ est donc bien une base de $V^{*}$ , et on voit immédiatement qu'il y a autant de vecteurs (duaux) dans la base duale qu'il y en a dans la base de départ ${{\vec{e}}_{i}}$ . On a donc déjà prouvé le théorème suivant:

Théorème 7.

Soit $V$ un $K$ -espace vectoriel, et $V^{*}$ son dual, alors on a:

\dim (V) = \dim (V^{*})

On peut maintenant s'intéresser au dual du dual $V^{* *}$ . On peut identifier chaque vecteur de $V$ avec un vecteur de $V^{* *}$ . En effet, soit $\vec{v} \in V$ , $ω \in V^{*}$ , et $\overline{v} \in V * *$ que l'on identifie à $\vec{v}$ , on peut écrire:

ω (\vec{v}) = \overline{v} (ω)

On peut donc assimiler $V$ à $V^{* *}$ . Cela veut dire donc que $V$ est le dual de $V^{*}$ . Dans nos notations, nous avons mis une flèche sur les vecteurs, et non sur les vecteurs duaux pour les différencier. Mais on voit ici que l'on aurait très bien pu inverser les rôles: cette notation ne doit pas faire croire que les éléments de $V$ et de $V^{*}$ ne sont pas sur un pied d'égalité.

Lien avec le produit scalaire

Supposons que sur $V$ on ait défini un produit scalaire. Alors, à chaque vecteur $\vec{v}$ on peut faire correspondre un et seul vecteur dual $v$ définit par:

\forall \vec{u} \in V, v (\vec{u}) = \vec{v} \cdot \vec{u}

On peut donc établir dans ce cas une bijection entre $V$ et $V^{*}$ . Soit alors $v_{i}$ les composantes du vecteur dual correspondant au vecteur $\vec{v} = v^{i} {\vec{e}}_{i}$ , alors on peut écrire:

\vec{v} \cdot \vec{u} = v (\vec{u}) = v_{i} θ^{i} (u^{j} {\vec{e}}_{j}) = v_{i} u^{j} δ_{j}^{i} = v_{i} u^{i}

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