Théorème du sandwich

Énoncé

Le théorème du sandwich s'énonce de la manière suivante. Supposons que sur un certain intervalle, on ait trois fonctions $f$, $g$ et $h$, tels que pour tout point $x$ appartenant à cet intervalle, on ait:

et que l'on ait pour un certain point $a$:

alors le théorème nous dit que:

Cela peut se comprendre de la manière suivante. La fonction $g(x)$ est prise «en sandwich» entre $f$ et $h$, si ces fonctions tendent vers une certaine limite en un point, elle se rejoignent et $g(x)$ «prise en étau» atteint la même limite.

Introduction

Démonstration

On commence par prouver un cas particuliers du théorème. On choisit $f(x)=0$ pour tout $x\in I$, et $L=0$. La deuxième hypothèse nous dit que:

Ce qui peux s'écrire encore, par définition de la limite de fonction:

En prenant $f(x)=0$ dans la première hypothèse:

Donc, puisque tout est positif:

ce qui nous permet d'écrire l'expression de la limite:

En conclusion:

Ce qui prouve donc le cas particuliers. Pour prouver le cas général, partons de:

On soustrait $f(x)$:

Si on fait tendre $x$ vers $a$, $f(x)$ et $h(x)$ tendent vers $L$ et $h(x)-f(x)$ tend vers $0$. On se retrouve dans le cas particuliers déjà prouvé, qui nous dit que $g(x)-f(x)\to 0$. On a donc: