Calcul intégral

Comment calculer la surface d'un disque?

La question semble innocente. Simple. La plupart d'entre vous ont sans doute en lisant le titre, repensé à la fameuse formule connue depuis longtemps: $S=\pi r^2$. Une formule toute simple. Se pose juste une question un peu délicate: cette formule, d'où vient-elle?

On peut par un découpage approprié de la sphère (on la découpe comme une tarte) donner peut être pas une démonstration rigoureuse mais au moins une intuition pour la justifier. Nous allons utiliser une autre technique, plus formelle, qui aura l'avantage de fonctionner pour calculer la surface de beaucoup d'autre formes géométriques.

Inspirons nous des techniques habituelles de la géométrie. Très souvent lorsque l'on est confronté à un polygone un peu «spécial», on a le réflexe de le découper en triangles. L'idée est donc le décomposer une forme compliquée en plusieurs formes simples dont la surface est facile à calculer. Dans le cas d'un disque cependant, il est impossible de faire un découpage exact en polygones. Mais c'est pas très grave.

En effet, nous allons utiliser une forme très simple: le rectangle. On peut se rendre facilement compte qu'une tel découpage ne sera qu'une approximation, du moins dans un premier temps. Pour faire ce découpage, nous allons nous mettre dans un système d'axe et nous allons de plus utiliser la notion de fonction. En effet, c'est bien beau de dire: «on va découper en rectangle» mais après qu'est ce qu'on fait comme calcul? Il faut connaître la largeur et la longueur de chaque rectangle.

Considérons un disque de rayon $r$ centré à l'origine. L'ensemble des points du bord du disque est l'ensemble des points qui sont à une distance $r$ de l'origine, c'est à dire l'ensemble des points $(x,y)$ tels que:

Cependant, pour utiliser la notion de fonction, il faut qu'à chaque abscisse $x$ corresponde au plus un point sur le disque. On va donc se restreindre à un demi disque, d'équation:

Et on découpe comme ceci:

Notons $a=-r$ et $b=r$. On découpe donc l'intervalle $[a,b]$ pour construire la base des rectangles. On a donc des nombres $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ qui forment ce découpage avec $a=x_1$ et $b=x_n$.

À chaque rectangle correspond deux nombres, $x_i$ et $x_{i+1}$, tel que le segment qui joint ces points sur l'axe $x$ soit la base du rectangle. Les rectangles sont construits de manière à ce que leur hauteur soit l'image du nombre situé entre $x_i$ et $x_{i+1}$, soit:

La surface de chaque rectangle est sa base multiplié par sa hauteur:

Comme on fait un découpage régulier, les bases de tout les rectangles sont égales, et on va noter $h=(x_{i+1}-x_i)$. De même, on sait que $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, donc:

mais on sait que $x_{i+1}=x_i+h$, donc:

Et la surface totale est donc la somme de tout les $S_i$ multipliée par 2 car on n'a pour l'instant qu'un demi-disque:

Plus les rectangles sont fins et nombreux, plus le calcul de la surface est précis, à la limite donc, pour des rectangles infiniment fins, on a la somme exacte:

Il reste à prouver que:

Ce qui semble loin d'être simple... on n'a pas encore calculé la limite d'une expression aussi compliquée !! C'est pourtant possible et nous allons voir comment.

Somme de Riemann

Introduction

On va faire le même raisonnement que précédemment, mais de manière plus générale: on s'intéresse à la surface en dessous d'une courbe quelconque.

Considérons une fonction quelconque $f(x)$ positive sur l'intervalle $[a,b]$. On découpe la surface en dessous de la courbe en un grand nombre de petits rectangles de hauteur $f(y_i)$ et ayant une base $x_{i+1}-x_i$ tel que $x_i\le y_i\le x_{i+1}$. Si on note $\Delta x_i=x_{i+1}-x_i$, la surface est donc (en approximation):

Il s'agit d'une somme de Riemann. On fais maintenant tendre le nombre de rectangle vers l'infini, et on note la somme comme ceci:

C'est une intégrale de Riemann. Notre but principal va être, et pour longtemps, de savoir comment calculer cette expression! remarquez que le symbole «$\int$» est une sorte de S allongé qui rappelle que l'on calcule bien une somme.

On peut déjà énoncer une propriété: l'additivité de l'intégrale, on a:

Ainsi que la linéarité de l'intégrale:

Tout simplement parce que les surfaces s'additionnent. De plus on pose que:

Enfin, une dernière propriété assez évidente est la monotonie de l'intégrale:

Exemple de calcul d'une intégrale

Ce que nous savons maintenant n'est pas suffisant pour calculer la surface d'un disque. Mais on peut trouver un cas plus simple. Laissons de coté le cas où la fonction est une droite: le calcul est simple, mais tellement simple que le recours au calcul de l'intégrale de Riemann ne se justifie pas. Nous allons plutôt calculer la surface en dessous de la courbe $y=x^2$ entre 0 et 1.

On découpe donc l'intervalle $[0,1]$ en $n$ intervalles de même longueur (la longueur sera donc $\frac{1}{n}$). On peut choisir les $x_i$ tels que $x_i=\frac{i}{n}$, avec $i$ variant de 1 à $n$ (et $x_n=1$). La surface de chaque rectangle sera donc $\frac{1}{n}\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot {\left(\frac{i}{n}\right)}^2$:

en mettant $\frac{1}{n^3}$ en évidence:

Or on peut prouver que:

Donc:

Malheureusement, ce calcul est souvent très compliqué. Mais rendez vous compte déjà du résultat: la surface que nous avons calculé n'est pas une surface simple, la somme de Riemann montre déjà son intérêt.