L'addition

Définition

Tout le monde connaît ce qu'est l'addition de deux nombres naturels depuis l'école primaire. On va essayer donc d'aller plus loin et de définir cette notion de manière formelle. On va donc définir l'addition comme une fonction.

Imaginons que nous voulons additionner deux nombres $a$ et $b$ . On va dire que $b$ est l'argument de la fonction «addition», c'est à dire que la fonction s'applique sur $b$ et non sur $a$ . En fait pour chaque $a$ différents, on a une fonction différente.

C'est à dire que pour tout $a \in ℕ$ , on a une fonction $f_{a}$ de $ℕ$ vers $ℕ$ , que nous devons définir uniquement à partir des seules notions que nous avons déjà définies dans $ℕ$ , on va donc définir cette notion à partie de la notion de successeur.

On définit donc l'addition comme ceci:

{\begin{matrix} f_{a} (0) = a \\ \forall n \in ℕ, f_{a} (s (n)) = s (f_{a} (n)) \end{matrix}

Et on note: $f_{a} (n) = a + n$ . Les deux propriétés qui définissent l'addition peuvent donc s'écrire:

a + 0 = a

et:

\forall n \in ℕ, a + s (n) = s (a + n)

Ces deux seuls propriétés suffisent à définir l'addition.

On remarque que l'on peut facilement démontrer quelque chose d'intuitif: $\forall n \in ℕ, s (n) = n + 1$ . On sait que:

\forall n \in ℕ, a + s (n) = s (a + n)

donc pour $n = 0$ on a:

a + s (0) = s (a + 0)

donc:

a + 1 = s (a)

On peut donc aussi réécrire la deuxième propriété comme ceci: $a + (n + 1) = (a + n) + 1$ .

On va maintenant énoncer une série de propriétés de l'addition.

Théorème 1.

L'addition est associative, c'est à dire que:

\forall a, b, c \in ℕ, (a + b) + c = a + (b + c)

On faire cette démonstration par récurrence sur $c$ . On doit donc tout d'abord prouver que c'est vrai pour $c = 0$ :

(a + b) + 0 = a + (b + 0) \Rightarrow a + b = a + b

ce qui est vrai car on sait que $a + 0 = a$ . Il reste à montrer que si on a: $(a + b) + c = a + (b + c)$ pour un certain $c$ , alors on a: $(a + b) + (c + 1) = a + [b + (c + 1)]$ .

On a:

\begin{matrix} (a + b) + (c + 1) & = [(a + b) + c] + 1 \\ = [a + (b + c)] + 1 \\ = a + [(b + c) + 1] \\ = a + [b + (c + 1)] \end{matrix}

On utilise la propriété: $a + (n + 1) = (a + n) + 1$ à la première, troisième et quatrième ligne. On utilise l'hypothèse de récurrence à la deuxième ligne.

Théorème 2.

L'addition admet un élément neutre, qui n'est autre que zéro:

\forall a \in ℕ, a + 0 = 0 + a = a

On sait déjà que $a + 0 = a$ , il reste à montrer que $0 + a = a$ . On va le faire par récurrence.

On a déjà que $0 + 0 = 0$ . On a comme hypothèse de récurrence: $0 + a = a$ et on doit montrer: $0 + (a + 1) = a + 1$ .

0 + (a + 1) = (0 + a) + 1 = a + 1

Théorème 3.

L'addition est commutative, c'est à dire que:

\forall a, b \in ℕ, a + b = b + a

Pour démontrer cela, on doit démontrer au préalable que $a + 1 = 1 + a$ . On va le faire par récurrence. On a pour $a = 0$ : $0 + 1 = 1 + 0$ ce qui est vrai car $0$ est l'élément neutre.

Donc, l'hypothèse de récurrence étant $a + 1 = 1 + a$ , on montre $(a + 1) + 1 = 1 + (a + 1)$ :

(a + 1) + 1 = (1 + a) + 1 = 1 + (a + 1)

On peut montrer maintenant $a + b = b + a$ par récurrence sur $b$ . On doit donc montrer sous l'hypothèse $a + b = b + a$ que $a + (b + 1) = (b + 1) + a$ :

\begin{matrix} a + (b + 1) & = (a + b) + 1 \\ = (b + a) + 1 \\ = b + (a + 1) \\ = b + (1 + a) \\ = (b + 1) + a \end{matrix}

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