La multiplication

On utilise le même type de définition que pour l'addition.

Définition

Pour tout $a\in \mathbb{N}$ on a une fonction $g_a$ de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{N}$ définie par:

Et on note: $g_a(n)=a\cdot n$ ou encore $an$ ou plus rarement $a\times n$. Les deux propriétés qui définissent la multiplication peuvent donc s'écrire:

Démonstration par récurrence sur $c$. On a pour $c=0$:

On démontre donc que $a[b+(c+1)]=ab+a(c+1)$ sous l'hypothèse que $a(b+c)=ab+ac$:

Démonstration par récurrence sur $c$. Pour $c=0$:

Et donc sous l'hypothèse que $(ab)c=a(bc)$:

On peut déjà prouver facilement que $a\cdot 1=a$ avec la propriété $a(n+1)=an+a$ pour $n=0$: $a\cdot 1=a(0+1)=a\cdot 0+a=a$. Il reste à montrer que $1\cdot a=a$ et sans surprise par récurrence. Pour $a=0$ on a bien $1\cdot 0=0$.

On suppose donc $1\cdot a=a$ et on a $1\cdot (a+1)=1\cdot a+1\cdot 1=a+1$.

On sait déjà que $a\cdot 0=0$, il reste à montrer que $0\cdot a=0$. On le fait par récurrence. Pour $a=0$ on a bien $0\cdot 0=0$.

On suppose donc $0\cdot a=0$, on a:

Par récurrence sur $b$. Pour $b=0$ on a bien $a\cdot 0=0\cdot a=0$. On suppose donc $ab=ba$: