Axiome d'extensionnalité

Idée générale de l'axiome

Cet axiome définit l'égalité de deux ensemble: si ils ont les mêmes éléments alors ils sont égaux. On peut déjà tirer comme conclusion qu'il n'y a pas d'ordre dans les éléments d'un ensemble, on peut lister les éléments d'un ensemble dans l'ordre que l'on veut: on a toujours le même ensemble. Puisqu'un ensemble n'est définit que par ses éléments, on dit qu'un ensemble ne dépend que de son extension.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.

Écriture formelle

On peut écrire cet axiome de manière formelle en utilisant ce qui a été vu au cours de logique. Considérons deux ensembles quelconques, $A$ et $B$. On regarde tous les ensembles possibles $X$, on a, si $A=B$:

1. si $X$ appartient à $A$, alors $X$ appartient à $B$,
2. si $X$ appartient à $B$, alors $X$ appartient à $A$.

Ceci peut s'écrire en utilisant le langage de la logique (voir section précédente):

qui n'est jamais que la traduction en langage mathématique de ce que nous avons écrit en français.

Or nous avons vu dans le cours de logique ce que nous avions appelé une tautologie remarquable:

qui dit que si $A$ implique $B$ et $B$ implique $A$, alors $A$ est équivalent à $B$. On peut appliquer cela à l'expression que nous venons d'écrire et on obtient:

Si cette condition est remplie quel que soit l'ensemble $X$ (c'est à dire dans le langage de la logique: $\forall X,X\in A\iff X\in B$) alors on a que $A=B$ et on peut écrire l'axiome en langage formel: