Axiome de la réunion

Idée générale de l'axiome

Cet axiome est utile pour définir la notion de l'union de deux ensembles (concept que l'on verra plus tard). Il exprime que pour un ensemble donné, il existe un ensemble qui est l'ensemble des éléments des éléments de cet ensemble.

Énoncé de l'axiome

Axiome: Quel que soit l'ensemble $A$, il existe un ensemble $B$ tel que les élément de $B$ soient les éléments de tout les éléments de $A$.

Écriture formelle

Considérons l'illustration ci-dessous:

Sur ce dessin, on a représenté un ensemble $A$ quelconque ainsi que deux de ses éléments. Ici il faut faire attention car le dessin est trompeur: on pourrait croire que les deux «patates» en rouges sont des sous-ensembles alors que ce sont des éléments de $A$.

L'un des éléments de $A$ est un ensemble noté $D$ dont l'un des éléments est $C$. L'axiome nous dit qu'il existe un ensemble $B$ qui est l'ensemble des éléments des éléments de $A$. Cet ensemble $B$ est représenté sur ce dessin en pointillés bleu, on a en particulier $C\in B$.

À partir de ce dessin, on peut essayer de trouver la formulation formelle de l'axiome. Soit donc un ensemble $A$ quelconque. On doit exprimer qu'il existe un ensemble $B$ qui soit l'ensemble des éléments des éléments de $A$. Pour cela, considérons un ensemble quelconque $C$. On a, si $C$ appartient à $B$, que $C$ appartient à un élément de $A$. Appelons $D$ cet élément. On a:

Cet ensemble $D$ n'existe que si il existe un ensemble $C$ appartenant à $B$. On peut intégrer tout cela en une expression logique qui est donc:

Cela marche aussi dans l'autre sens, c'est à dire que si $D$ est un ensemble appartenant à $A$ alors il existe un ensemble $B$ tel que $C$ appartient à $B$ et à $D$ (voir encore schéma). On peut donc écrire:

Comme pour l'axiome précédent, on peut invoquer la tautologie:

qui permet comme nous l'avons vu de remplacer deux implications par une équivalence.

On peut écrire l'axiome de manière formelle:

On verra un peu plus tard comment on définit l'union de deux ensembles (et surtout montrer que l'union de deux ensembles est un ensemble) et on se servira de cet axiome.