Éléments, sous-ensembles

Élément d'un ensemble

Rappelons tout d'abord une notion fondamentale: si on a deux ensembles $A$ et $B$ et que $A$ est un élément de $B$, on note:

Dans le cas contraire, on peut écrire:

Inclusion

Rappelons que si tout les éléments de $A$ sont aussi élément de $B$, on dit que $A$ est inclus dans $B$ et qu'il est un sous-ensemble de $B$ et on note:

On peut écrire aussi:

On dit aussi que $B$ est un sur-ensemble de $A$. On rappelle aussi que l'on peut formaliser cette notion:

Propriétés

Deux propriétés faciles à démontrer:

Démonstration:

On utilise la définition de l'inclusion, on peut réécrire:

On peut rappeler le modus barbara vu en logique:

Et en comparant les deux expressions on voit qu'elle sont équivalentes ce qui achève la démonstration.

On utilise encore la définition de l'inclusion:

Si l'expression $A\in B\wedge (X\in B\Rightarrow X\in C)$ est vraie on a que $A\in B$ est vrai; et comme elle vraie pour tout $X$, elle est donc vraie en particuliers pour $X=A$, on a donc:

On a donc que $A\in B\wedge (A\in B\Rightarrow A\in C)$ est vrai, alors on sait que $A\in B\Rightarrow A\in C$ est vrai. Comme on sait que $A\in B$ est vraie, alors $A\in C$ est vrai aussi et on a donc prouvé l'implication.