Définir un ensemble

Définition en extension

Soit $E$ un ensemble. Si $a_1,a_2,...,a_n$ sont les éléments de $E$, on note:

On peut donc définir un ensemble en listant tout ses éléments entre des accolades (on dit alors que l'on défini l'ensemble en extension).

Il faut maintenant prouver que l'on a vraiment le droit de faire cela c'est à dire que c'est compatible avec les axiomes vus précédemment.

Tout d'abord, nous avons montré que l'on pouvais avoir un ensemble du type $\left\{a_1\right\}$. Nous avons montré aussi que nous pouvions avoir des ensembles ayant deux éléments: $\{a_1,a_2\}$ grâce au théorème de la paire. Cependant, il faut que cette définition soit valide pour un nombre quelconque d'éléments.

Pour cela, il suffit simplement de faire appel à l'union de deux ensembles. Et il suffit d'écrire, pour définir formellement cette notation:

Gràce à l'axiome d'extensionnalité, on sait qu'un ensemble ne dépend que de ses éléments ce qui montre qu'on définit bien un ensemble unique et ce qui valide la définition en extension.

Définition en compréhension

Nous savons déjà comment définir un ensemble en compréhension en donnant un sur-ensemble et une propriété.

Par exemple, si on veut définir l'ensemble $E$, sous-ensemble de $A$ avec la propriété $P$, on note:

On verra plus tard des exemples d'utilisation de cette méthode de définition.