Fonctions trigonométriques

Fonction sinus

À partir de ce que nous avons vu nous allons définir une fonction: la fonction sinus.

Cette fonction se définit à partir de ce que nous avons dit dans l'introduction. Cependant, on faisait le lien entre un angle et un nombre, et on veut une fonction qui donne un nombre en fonction d'un autre nombre. On doit donc fixer une unité pour les angles et nous utiliserons le radian.

On a quand même un problème. En faisant comme ça, on définit le sinus uniquement pour des angles strictement compris entre $0$ et $\pi /2$ radians (c'est à dire entre $0$ et $90$ degrés). On voudrait étendre la définition pour qu'on puisse calculer le sinus de n'importe nombre.

Considérons la figure suivante:

Nous avons un cercle de rayon 1, dans lequel se trouve le triangle $OAB$ dont l'un des angles est $\alpha$. Le sinus de cet angle est comme nous l'avons vu, le côté opposé divisé par l'hypoténuse, c'est à dire:

Car $|OA|=1$ (cercle de rayon 1), il en résulte que si on construit (de la bonne manière !) l'angle dans un cercle unité, il suffit de faire une projection sur l'axe $y$ pour avoir la valeur du sinus de l'angle.

Considérons maintenant un angle $\beta >\pi /2$. On ne peut pas définir son sinus à partir d'un triangle rectangle, mais dans le triangle trigonométrique, on peut le définir en appliquant la même méthode que précédemment, on a donc:

Par contre, dans le cas d'un angle $\gamma >\pi$, on a un sinus négatif (car on est dans les valeurs négatives de $y$) et donc:

Que se passe-t'il pour des angles supérieurs à $2\pi$ ($360^{\circ }$) ?? Et bien c'est simple: on est près pour un deuxième tour de cercle ! Ainsi, au fur et à mesure que l'on augmente la valeur de l'angle, on va tourner dans le cercle de sorte que l'on retrouvera ainsi les mêmes valeurs pour la fonction sinus: on dit que la fonction est périodique. Cela est bien visible en regardant son graphe:

Fonction cosinus

Nous avions introduit la fonction sinus à l'aide des triangles rectangles, on divisait le côté opposé par l'hypothénuse. On peut aussi diviser le côté adjacent par l'hypothénuse: on calcule alors le cosinus.

On peut très facilement se rendre compte qu'il suffit de projeter sur l'axe $Ox$ dans le cercle trigonométrique:

On a:

Les même remarques que pour la fonction sinus s'appliquent encore ici. Le graphe de la fonction cosinus est semblable à celui de la fonction sinus, à une translation près:

Fonction tangente

La tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent.

Sur le schéma ci-dessous, on a:

On projette donc sur une droite verticale tangente au cercle au point $B=(1,0)$.

On peut prouver que:

En effet: